А.П. Стахов
Математика Гармонии - новое направление в современной математике

В статье рассказывается о "Математике Гармонии", новом направлении в современной математике, в котором приоритет украинской науки является неоспроримым. Указанное направление заслушано и одобрено на заседании Президиума Академии наук Украины (1989), заседаниях Украинского математического общества (1998), на научных семинарах Таганрогского радиотехнического университета (2001), Харьковского Национального аэрокосмического университета (2002), Московского университета (2003), Харьковского национального университета (2003), а также на пленарном заседании Международной конференции "Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве" (Винница, 2003).

1. Введение. В 1989 г. в творческой биографии автора настоящей статьи произошли два важных события:

  1. Автору была предоставлена высокая честь выступить с обширным докладом "Компьютеры Фибоначчи - новое направление в вычислительной технике" на июньском (1989 г.) заседании Президиума Академии наук Украины, которое было полностью посвящено обсуждениию этого нового компьютерного направления. Приоритет украинской науки в этом направлении защищен более 60 патентами, выданными государственными патентными ведомствами США, Японии, Англии, Германии, Франции, Канады и других стран. По результатам этого доклада в первых двух номерах академического журнала "Вестник Академии наук Украины" за 1990 г. была опубликована большая статья автора [1], которая была признана лучшей публикацией журнала за 1990 г. по итогам конкурса, проведенного редакцией.
  2. В 1989 г. Международный журнал "Computers & Mathematics with Applications" опубликовал большую статью автора "The Golden Section in the Measurement Theory" [2], в которой впервые была сформулирована идея создания новой математики, основанной на "Золотом Сечении" и числах Фибоначчи. Если учесть очень высокий научный уровень журнала (рецензентами статей в основном были Лауреаты Нобелевской Премии), то публикацию статьи [2] в престижном международном журнале можно рассматривать как большой успех не только автора, но и всей Украинской науки.

Несмотря на поддержку Президиума Академии наук Украины, идее создания "Компьютеров Фибоначчи" на Украине не суждено было осуществиться. "Горбачевская перестройка" и последовавший вслед за этим развал Советского Союза привели к существенному сокращению финансирования инновационных научных проектов в оборонной области (а именно к таким проектам относился проект "Компьютер Фибоначчи", выполявшийся в Винницком политехническом институте под руководством автора) и в 1989 г. Министерство общего машиностроения СССР прекратило финансирование этого важного компьютерного проекта, что привело к развалу научного и инженерного коллектива (более 200 человек), созданного для выполнения этого проекта в Специальном конструкторско-технологическом бюро "Модуль" Винницкого политехнического института.

Дальнейшее развитие этого направления осуществлялось в рамках научной программы, намеченной автором в статье [2]. "Крестными отцами" этого направления по праву можно считать Президента Академии наук Украины академика Б.Н. Патона, по инициативе которого доклад автора был заслушан на заседании Президиума Академии наук Украины, результатом чего стали престижные публикации автора в журнале "Вестник Академии наук Украины" [1, 3, 4], и всемирно известного украинского математика, академика Ю.А. Митропольского, по рекомендации которого были опубликованы важнейшие теоретические статьи по этому направлению в журнале "Доклады Академии наук Украины" [5, 6] и "Украинском математическом журнале" [7].

Цель настоящей статьи - изложить основы созданного на Украине нового направления в современной математике, которое было названо автором "Математикой Гармонии" [8], и наметить основные направления приложений нового математического аппарата в современной науке.

2. История возникновения "Математики Гармонии". Рекуррентные ряды Фибоначчи и Люка и связанное с ними золотое сечение занимают значительное место в современных исследованиях количественных соотношениях живой и неживой природы [9-11]. Яркие открытия современной науки - квазикристаллы Шехтмана [12], новая теория филлотаксиса украинского ученого Боднара [13], закон структурной гармонии систем белорусского философа Сороко [14], резонансная теория Солнечной системы русского астронома Бутусова [15], основанные на золотом сечении, имеют "стратегическое" значение для развития современной науки.

В последние годы обнаружен большой интерес современной теоретической физики к золотому сечению [16-21]. На Международной конференция "Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве", состоявшейся в конце 2003 г. в Виннице (Украина) и привлекшей внимание ученых и специалистов различных научных профилей, были представлены доклады физиков-теоретиков [18-20]. Доклад профессора Ю.С. Владимирова [18] (кафедра теоретической физики Московского университета), как и его книга [21], представляют особый интерес, т.к. отражают исследования в области теории кварков, основанные на икосаэдрическом представлении и золотом сечении.

Таким образом, согласно работам Шехтмана, Бутусова, Mauldin, Willams, El Nashie, Владимирова, Петруненко и других ученых золотое сечение начинает занимать важное место в современной теоретической физике, поэтому трудно представить себе дальнейший прогресс физических исследований в отрыве от золотого сечения.

Движение естествознания к пониманию и описанию таких явлений как самоорганизация и гармония требует нового математического аппарата. В отличие от классической математики с доминированием фундаментальных математических констант p и e, в математике живой природы доминирует константа "Золотого Сечения" и это подтверждается современными научными открытиями в этой области [12-21]. В 1996 г. в лекции "The Golden Section and Modern Harmony Mathematics", прочитанной автором на 7-й Международной конференции по числам Фибоначчи и их приложениям [8], была выдвинута концепция новой математики, "Математики Гармонии", дополняющей и развивающей классическую математику и предназначенной для моделирования явлений так называемого "Фибоначчиевого мира", который нас окружает (ботаническое явление филлотаксиса, деление биологических клеток, квазикристаллы, все виды искусства, морфология человека и т.д.). В 1998 г. по инициативе академика Ю.А. Митропольского эта же лекция была прочитана автором на заседании Украинского математического общества. Результаты этой лекции были опубликованы в "Украинском математическом журнале" [7]. "Математика Гармонии" включает в себя ряд оригинальных математических концепций и теорий, таких, как обобщенный принцип Золотого Сечения и вытекающая из него новая теория чисел [7, 22, 23], алгоритмическая теория измерения [2, 24, 25], гиперболические функции Фибоначчи и Люка [5, 26, 27], матрицы Фибоначчи [6], "золотые" матрицы [28], троичная зеркально-симметричная арифметика [29], новая теория кодирования [28, 30] и др.

3. Обобщенный принцип Золотого Сечения. Пришедшая к нам из "Начал Евклида" задача о "делении отрезка в крайнем и среднем отношении", названная Деонардо да Винчи "золотым сечением", допускает следующее обобщение [2, 7]. Зададимся целым неотрицательным числом р (р = 0, 1, 2, 3, ...) и разделим отрезок АВ точкой С в таком отношении, чтобы

. (1)

Решение этой задачи привело к открытию нового класса иррациональных чисел tp (р = 0, 1, 2, 3, ...), значения которых находятся в пределах: 1 £ tp £ 2. При этом числа tp являются корнями следующего алгебраического уравнения:

xp+1 = xp + 1. (2)

Заметим, что при р = 0 число tp = 2, а деление отрезка в отношении (1) сводится к классической дихотомии. При р = 1 число tp сводится к классическому "золотому сечению" . На этом основании числа tp были названы "обобщенными золотыми пропорциями" или "золотыми р-пропорциями", а деление отрезка в отношении (1) - "обобщенным золотым сечением" или "золотым р-сечением" [2, 7, 24, 25].

"Золотые р-сечения" tp удовлятворяют следующему математическому тождеству, связывающему степени золотых р-пропорций:

(3)

где n = 0, ±1, ±2, ±3, ... .

При n = 0 тождество принмает следующий вид:

. (4)

Откуда вытекает следующее математическое тождество:

, (5)

которое выражает некоторый общий принцип разложения "Целого" ("Единицы"), названного "обобщенным принципом золотого сечения".

Заметим, что этот общий принцип включает в себя в качестве частных случаев "Принцип дихотомии" (p = 0) и классический "Принцип Золотого Сечения" (p = 1), для которых общее тождество (5) принимает следующий вид соответственно:

"Принцип дихотомии" (p = 0):

(6)

"Принцип Золотого Сечения" (p = 1):

. (7)

Исследуя так называемые "диагональные суммы" треугольника Паскаля, автор пришел к открытию новых рекуррентных поседовательностей, названных обобщенными числами Фибоначчи или р-числами Фибоначчи [2, 7, 24, 25], которые для заданного р (р = 0, 1, 2, 3, ...) задаются с помощью следующей рекуррентной формулы:

Fp(n) = Fp(n-1) + Fp(n-p-1)   для   n > p + 1; (8)
Fp(1) = Fp(2) = ... = Fp(p+1) = 1. (9)

Заметим, что рекуррентное соотношение (8) при начальных условиях (9) задает бесконечное количество новых числовых последовательностей. При этом их частными случаями являются "двоичный ряд" 1, 2, 4, 8, 16, ..., соответствующий случаю р = 0, и ряд Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., соответствующий случаю р = 1!

Легко доказать, что отношение соседних р-чисел Фибоначчи Fp(n) / Fp(n-1) при неограниченном увеличении n стремится к обобщенной золотой пропорции tp! Трудно переоценить методологическое значение этого математического результата, связывающего "обобщенный принцип золотого сечения", задаваемый (5), с треугольником Паскаля и биномиальными коэффициентами! Это может стать началом переосмысливания многих направлений современной математики и теоретической физики, основанных на комбинаторных отношениях, в частности, теории вероятностей и статистической физики.

4. Алгоритмическая теория измерения. Первой математической теорией, разработанной автором, в рамках проекта "Математики Гармонии", была "алгоритмическая теория измерения" [2, 24, 25]. Эта теория получила широкую известность и принесла автору славу одного из создателей современной "теоретической метрологии". Например, в одной из книг по теории измерения [32], написанной в развитие "алгоритмическрой теории измерения" [24, 25], автор книги известный русский ученый П.А. Арутюнов в "Предисловии" приводит список ученых, внесших с его точки зрения наибольший вклад в развитии "Теории измерений". Имя А.П. Стахова в этом списке поставлено третьим после А.Н. Колмогорова и Н.В. Хованова. В 1980 г. брошюра "Алгоритмическая теория измерения" [25] была удостоена премии Министерства высшего и среднего обрпазования УССР. Популяризации "алгоритмической теории измерения" способствовали выступления автора на высоких научных форумах и собраних. Огромный успех выпал на долю лекции "Алгоритмическая теория измерения и основания компьютерной арифметики", сделанном автором на объединенном заседании Компьютерного и Кибернетического обществ Австрии (Австрия, Вена, 1976). Именно эта лекция стала причиной начала широкого патентования изобретений автора в области "Компьютеров Фибоначчи" во всех ведущих странах-продуцентах компьютерной техники (США, Япония, Англия, Франция, Германия, Канада и др. страны).

5. Новое геометрическое определение действительного числа. В статье [7] предложен следующий подход к геометрическому определению действительного числа. Рассмотрим бесконечное множество геометрических отрезков, являющихся степенями золотой р-пропорции tp:

. (10)

где р принимает значения из множества {0, 1, 2, 3, ...}, а n - из множества {0, ±1, ±2, ±3, ...}; при этом все степени связаны между собой математическим тождеством (3).

Используя множество (10), можно "сконструировать" следующий метод позиционного представления действительных чисел:

. (11)

где ai Î {0, 1}; tp (золотая р-пропорция) - основание позиционного представления (11); i = 0, ±1, ±2, ±3, ... .

Заметим, что выражение (11) задает бесконечное количество позиционных способов представления чисел (систем счисления), так как каждому р (р = 0, 1, 2, 3, ...) соответствует своя система счисления типа (11). Заметим, что при р = 0 основание tp = t0 = 2 и система счисления (11) сводится к классической двоичной системе счисления, лежащей в основе современных компьютеров.

Рассмотрим случай р = 1. Для этого случая основанием системы счисления (11) является классическое "Золотое Сечение" и система (11) вырождается в "Тау-систему", введенную в 1957 г. американским математиком Джорджем Бергманом [33]. Бергман назвал свою "Тау-систему" системой счисления с иррациональным основанием. Любопытно отметить, что статья [33] написана Бергманом в возрасте 12 лет! Сейчас Джордж Бергман является профессором одного из американских университетов.

Заметим также, что выражение (11) было введено автором в 1980 г. в статье [22] и названо кодом золотой р-пропорции. Теория этих систем счисления изложена в книге [23].

Рассмотрим теперь случай р = ¥. Для этого случая основание tp стремится к 1, а это означает, что в пределе выражение (11) сводится к классическому Евклидовому определению числа:

N = 1 + 1 + 1 + ... + 1 (N раз). (12)

Как известно, "Евклидово определение" (12) порождает как сами натуральные числа, так и всю проблематику их теории. Но формула (11) задает бесконечное число новых определений действительного числа. Но тогда каждое из определений (11) "генерирует" свою собственную теорию действительных чисел! То есть теоретически существует бесконечное количество "теорий действительных чисел", основанных на определении (11)!

Коды золотой пропорции (11) и стали основой новых компьютерных проектов, которые активно развивались в Таганрогском радиотехническом (1971-1977), в затем в Винницком политехническим институте (1997-1995) под научныи руководством автора.

6. Троичная зеркально-симметричная арифметика. Из последних результатов в этой области необходимо упомянуть о так называемой "Троичной зеркально-симметричной арифметике", разработанной автором несколько лет назад. "Троичная зеркально-симметричная система счисления" является синтезом системы счисления Бергмана [32] и троичной симметричной системы счисления, использованной Н.П. Брусенцовым при создании первого в истории науки троичного компьютера "Сетунь" (Московский университет). Новая компьютерная арифметика изложена автором в статье [29], опубликованной в международном журнале "The Computer Journal" (British Computer Society). Статья вызвала большой интерес западной компьютерной науки. Любопытно, что первым западным ученым, приславшим автору восторженное письмо по поводу новой компьютерной арифметике, оказался выдающийся американский ученый Дональд Кнутт, автор всемирно известного научного бестселлера "Искусство программирования", переведенного на многие языки мира.

7. Матрицы Фибоначчи, "золотые" матрицы и новая теория кодирования. Еще одним математическим достижением Украинской науки, полученным в рамках "Математики Гармонии", является разработка теории матриц особого типа, обладающих исключительными математическими свойствами. В статье [6] изложена теория квадратных матриц, названных Qp-матрицами Фибоначчи.

Если задаться некоторым целым р (р = 0, 1, 2, 3, ...), то матрица Qp может быть представлена в виде следующей квадратной матрицы размером (р + 1) × (р + 1):

. (13)

Заметим, что Qp-матрица представляет собой квадратную матрицу размером (р + 1) × (р + 1). Как вытекает из (13), она содержит в себе единичную матрицу размером (р × р), ограниченную последней строкой, состоящей из нулей, и первым столбцом, который состоит из нулей, ограниченных единицами. Для случаев p = 0, 1, 2, 3, 4 Qp-матрицы имеют следующий вид соответственно:

Матрицы Qp связаны друг с другом следующими простыми соотношениями. Если в матрице Q4 вычеркнуть последний столбец и предпоследнюю строку, то она вырождается в матрицу Q3. Вычеркнув теперь последний столбец и предпоследнюю строку в матрице Q3, мы получим матрицу Q2 и т.д. Таким образом, каждая матрица Qp, с одной стороны, содержит в себе все предыдущие матрицы и, с другой стороны, входит во все последующие матрицы. Эта удивительная регулярность в построении матриц Qp вызывает неосознанное чувство ритма и гармонии!

Заметим, что для случая р = 1 Qp-матрица (13) сводится к классической Q-матрице

Q = , (14)

теория которой была разработана математиками-фибоначчистами во главе с Вернером Хогаттом, создателем Фибоначчи-ассоциации (США) [10].

Доказаны следующие теоремы для степеней Qp-матрицы [6].

Теорема 1.
Для заданного целого р (р = 1, 2, 3, ...) и заданного целого n (n = 0, ±1, ±2, ±3, ...) имеет место следующее выражение для n-й степени матрицы Qp:
(15)
Теорема 2.
Det = (-1)pn, (16)

где p = 0, 1, 2, 3, ...; n = 0, ±1, ±2, ±3, ... .

И теперь мы можем выразить наше восхищение по поводу Теорем 1 и 2. Действительно, невозможно вообразить, что p-числа Фибоначчи (8), (9), полученные нами при исследовании треугольника Паскаля, могут стать основой нового класса квадратных матриц, задаваемых выражениями (13) и (15). Но результат (16) кажется совершенно невероятным для специалистов, знакомых с понятием детерминанта матрицы! Невозможно вообразить, чтобы для любых заданных р и n детерминант любой матрицы (15) (а число таких матриц бесконечно!) всегда будет равен либо 1, либо (-1), что непосредственно следует из (16)! Ясно, что тождество (16) для матрицы (15) представляют нам неограниченные возможности для "фибоначчиевых" исследований и позволяют получить бесконечное число фундаментальных тождеств, связывающих p-числа Фибоначчи Fp(n) с биномиальными коэффициентами и треугольником Паскаля. Таким образом, если американский математик Вернер Хоггат исследовал только одну матрицу типа (14), которая стала для него источником новых идей в развитии теории чисел Фибоначчи, то невозможно вообразить, сколько новых научных результатов может принести исследование матриц (13), (15)!

Еще один необычный класс квадратных матриц, названных "золотыми" матрицами, разработан автором совсем недавно [28]. Рассмотрим пример "золотой" матрицы:

. (17)

Заметим, что элементами матрицы (17) являются гиперболические функции Фибоначчи, введенные в [5]. Заметим, что матрица (17) является функцией непрерывной переменной x, которая изменяется в пределах от -¥ до +¥, то есть выражение (17) на самом деле задает бесконечное число квадратных матриц, так как каждому x соответствует своя матрица (17). Доказано, что детерминант матицы (17) не зависит от переменной x и тождественно равен 1!

Какое же практическое приложение могут иметь матрицы (13), (15), (17)? В работах автора [28, 30] разработана новая теория кодирования, которая может быть эффективно использована для обнаружения и исправления ошибок в "каналах связи", а также для крипторграфической защиты информации. Учитывая высокую ошибкообнаруживающую и криптографическую способность метода и простоту его технической и программной реализации, можно ожидать, что метод найдет широкое применение в таких важных системах связи, как военные и космические системы связи, банковские системы связи, Интернет, телефонные и радио системы связи и др.

7. Заключение.Таким образом, исследования автора, изложенные в работах [1-8, 22-31], можно рассаматривать как попытку создания новой математики, "Математики Гармонии". "Математика Гармонии" является дополнением и развитием классической "Элементарной Математике", лежащей в основе современного математического образования, и является новым математическим аппаратом, который может быть эффективно использован для изучения тех процессов объективного мира, где "золотое сечение" и числа Фибоначчи являются сутью того или иного физического или биологического явления (квазикристаллы, деление биолошических клеток, филлотаксис и др.).

"Сердцем" новой математики является "Обобщенный Принцип Золотого Сечения", вытекающий из Треугольника Паскаля, а также "алгоритмическая теория измерения" и "новая теория чисел". Алгоритмическая теория измерения генерирует бесконечное число новых числовых последовательностей, в частности, p-числа Фибоначчи, биномиальные коэффициенты, последовательности двоичных и натуральных чисел. Эти числовые последовательности приводят к расширению теории чисел Фибоначчи [9-11]. Алгоритмическая теория измерения приводит также к развитию позиционных систем счисления, восходящих к Вавилонской шестидесятеричной системе счисления. Благодаря такому подходу этот "старейший" раздел теории чисел превращается в оригинальную математическую теорию, являющуюся дополнением к классической теоретической арифметике.

Как упоминалось выше, обнаруженная выше связь "Обобщенного Принципа Золотого Сечения" с Треугольником Паскаля может иметь "стратегическое" значение для современного теоретического естествознания. Она может стать началом переосмысливания многих направлений современной математики и теоретической физики, основанных на комбинаторных отношениях, в частности, теории вероятностей и многих статистических законов.

Формулы Бине генерируют новый класс элементарных функций, гиперболические функции Фибоначчи и Люка [5, 26, 27]. Эти функции являются ничем иным, как обобщением формул Бине на "непрерывную" область. Благодаря этим функциям теория чисел Фибоначчи превращается в "непрерывную" теорию, потому что каждое математическое соотношение для функций Фибоначчи и Люка имеет дискретный аналог в рамках "теории чисел Фибоначчи". Новый класс гиперболических функций, обладающих рекуррентными свойствами, имеет "стратегическое" значение для развития биологии и теоретической физики, если учесть ту роль, которую гиперболические функции играют в современной теоретической физике ("гиперболическая геометрия Лобачевского", "четырехмерный мир Минковского" и т.д.). Гиперболические функции Фибоначчи и Люка являются основой для новой геометрии филлотаксиса (геометрии Боднара) [13], которая является блестящим подтверждением эффективности гиперболических функций Фибоначчи и Люка для моделирования биологических процессов.

Широко известно следующее высказывание Иоганна Кеплера: "В геометрии существует два сокровища - теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем".

К сожалению, приходится констатировать, что в современном математическом образовании роль "Золотого Сечения" незаслуженно принижена. В чем причина этого? Возможно, причина состоит в широком использовании "Золотого Сечения" в астрологии и так называемых "эзотерических науках". Известно, что основные символы астрологии (астра, пентаграмма, Платоновы тела и т.д.) тесно связаны с "Золотым Сечением". Возможно, что именно это обстоятельство и стало основной причиной того, что "материалистическая" наука, а вместе с ней и "материалистическое" образование выбросили "Золотое Сечение" на "свалку сомнительных научных концепций" и тем самым "кастрировали" современное математическое образование. Результат налицо: большинство так называемых "образованных" людей знают "Теорему Пифагора", но при этом имеют весьма смутное представление о золотом сечении, "втором сокровище геометрии" (Иоганн Кеплер). Ясно, что введение "Математики Гармонии" в современное математическое образование стало бы важным событием в образовании, что значительно повысило бы интерес учащихся к математике и способствовало бы сближению математики с науками о Природе, где "Золотое Сечение" играет фундаментальную роль.

Интерес к числам Фибоначчи и золотому сечению и проблемам гармонии систем, возникший в современной науке, является отражением "естественного" хода развития современной науки, которая приближается к раскрытию законов гармонии, созданию новой научной картины мира, основанной на идеях гармонии, симметрии и золотого сечения. Это приведет к восстановлению и углублению связей между Наукой и Искусством как двух взаимно дополняющих друг друга методов раскрытия и отображения объективной гармонии Мироздания. Для решения этих проблем в современной науке должна возникнуть новая интегральная наука, называемая "Наукой о Гармонии Систем" [4, 31], в которой числа Фибоначчи и золотое сечение должны занимать достойное место.



Литература:

  1. Стахов О.П. За принципом золотої пропорції: перспективний шлях розвитку обчислювальної техніки. Журнал "Вісник Академії наук Української РСР", №1-2, 1990 г.
  2. Stakhov A.P. The Golden Section in the Measurement Theory. An International Journal "Computers & Mathematics with Applications", Volume 17, No 4-6, 1989.
  3. Стахов О.П. Вимірювання - фундаментальна проблема науки. Журнал "Вісник Академії наук Української РСР", №6, 1991 г.
  4. Стахов О.П. Золотий переріз і наука про гармонію систем. Журнал "Вісник Академії наук Української РСР", №12, 1991 г.
  5. Стахов А.П., Ткаченко И.С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. - Доповіді Академії наук Україны, 1993, №7.
  6. Stakhov O.P. A generalization of the Fibonacci Q-matrix. - Доповіді Національної Академії наук України. 1999, № 9.
  7. Стахов А.П. Обобщенные золотые сечения и новый подход к геометрическому определению числа. Украинский математический журнал, 2004, т. 56, №8.
  8. Stakhov A.P. The Golden Section and Modern Harmony Mathematics. Applications of Fibonacci Numbers, 1998, V. 7.
  9. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. - Москва: Наука, 1978.
  10. Hoggat Verner E. Fibonacci and Lucas Numbers. - Palo Alto - Houghton-Mifflin, 1969.
  11. Vajda S. Fibonacci & Lucas Numbers, and the Golden Section. Theory and Applications. - Ellis Horwood limited, 1989.
  12. Гратиа Д. Квазикристаллы. - Успехи физических наук, 1988, том 156, вып. 2. - с. 347-360.
  13. Боднар О.Я. Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве. - Львов: Издательство "Свит", 1994.
  14. Сороко Э. М. Структурная гармония систем. - Минск: Наука и техника, 1984.
  15. Бутусов К.П. Золотое сечение в Солнечной системе. - Астрономия и небесная механика. Серия "Проблемы исследования Вселенной", 1978, вып. 7. - с. 475-500.
  16. Mauldin R.D. and Willams S.C. Random recursive construction. - Trans. Am. Math. Soc, 1986, 295.
  17. El Nashie M.S. Is Quantum Space a Random Cantor Set with a Golden Mean Dimention at the Core? - Chaos, Solitons & Fractals, 1994, Vol.4, No.2.
  18. Владимиров Ю.С. Кварковый икосаэдр, заряды и угол Вайнберга. Сборник трудов Винницкого аграрного университета "Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве". - Издательство Винницкого аграрного университета, 2003, вып. 15.
  19. Петруненко В.В. К вопросу о физической сущности явления декалогарифмической периодичности. Сборник трудов Винницкого аграрного университета "Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве". - Издательство Винницкого аграрного университета, 2003., вып. 15.
  20. Майборода А.О. Открытие "Golden Section" в фундаментальных соотношениях физических величимн. Сборник трудов Винницкого аграрного университета "Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве", Издательство Винницкого аграрного университета, 2003, вып. 15.
  21. Владимиров Ю.С. Метафизика. Москва, Бином, 2002.
  22. Стахов А.П. "Золотая" пропорция в цифровой технике. - Автоматика и вычислительная техника, 1980, №1.
  23. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. - Москва: Радио и связь, 1984.
  24. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. - Москва: Советское Радио, 1977.
  25. Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения. - Москва: Знание, 1979.
  26. Stakhov A.P. Hyperbolic Fibonacci and Lucas functions: A new mathematics for the alive nature. - Vinnitsa, Publisher "ITI", 2003.
  27. Stakhov A., Rozin B. On a new class of hyperbolic function. - Chaos, Solitons & Fractals, 2004, V. 23, No.2. - pp. 379-389.
  28. Stakhov A.P. Fibonacci Computer Science (manuscript). - Toronto, Bolton, 2004.
  29. Stakhov A.P. Brousentsov's Ternary Principle, Bergman's Number System and Ternary Mirror-symmetrical Arithmetic. - The Computer Journal (British Computer Society), Vol. 45, No 2.
  30. Stakhov A.P., Massingua V., Sluchenkova A.A. Introduction into Fibonacci Coding and Cryptography. - Kharkov: Publisher "Osnova" of Kharkov State University, 1999.
  31. Стахов А.П. Священная геометрия и математика гармонии. Сборник трудов Винницкого аграрного университета "Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве", Издательство Винницкого аграрного университета, 2003, вып. 15.
  32. Арутюнов П.А. Теория и применение алгоритмических измерений. - Москва: Энергоатомиздат, 1990.
  33. Bergman, G. A number system with an irrational base. Mathematics Magazine, No 31, 1957.