А.П. Стахов
Гиперболические функции Фибоначчи и Люка, неевклидова геометрия живой природы, "золотые" матрицы и новая теория кодирования

В статье рассказывается об оригинальном достижении украинской математики, а именно, о гиперболических функциях Фибоначчи и Люка, "золотых" матрицах и их приложениях в современной науке (новый подход к теории чисел Фибоначчи, неевклидова геометрия живой природы и новая теория кодирования).

С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии, мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления - золотого сечения …
Алексей Лосев

1. Введение. В математике широко используются так называемые элементарные функции. Такие функции выражают некоторые устойчивые отношения и связи, реально существующие в окружающем нас мире, и широко используются для моделирования различных процессов и явлений. Наиболее известными среди них являются тригонометрические функции sin(x) и cos(x). Каждый школьник знает, что эти функции геометрически определяются с помощью окружности и поэтому в их основе лежит число p, одна из важнейших математических констант. Всеобщее восхищение вызываает следующая удивительная математическая формула, связывающая тригонометрические функции:

sin2(x) + cos2(x) = 1.(1)

Менее известными для широкой публики являются так называемые гиперболические функции, выражаемые с помощью следующих формул:

,
(2)

Первая из них называется гиперболическим синусом, вторая - гиперболическим косинусом.

Важно подчеркнуть, что гиперболические функции (2) геометрически определяются с помощью гиперболы, а в их основе лежит число е (основание натуральных логарифмов), которое считается еще одной важнейшей математической константой.

Широкой публике не очень известно, что гиперболические функции (2) связаны друг с другом изящным тождеством, подобным (1):

ch2(x) - sh2(x) = 1.(3)

Числа p и е настолько широко распространены в математике, что кто-то из математиков сказал: "Числа p и е господствуют над анализом", - и с этим утверждением нельзя не согласиться.

Использование тригонометрических функций широко известно. Например, колебательные процессы в маятнике и в электронном генераторе электрических колебаний подчиняются законам тригонометрических функций. Где же используются гиперболические функции (2)? Ответ на это вопрос окажется для многих весьма неожиданным. Все образованные люди знают, что в первой четверти 19-го века гениальным российским геометром Николаем Лобачевским была создана необычная геометрическая система, названная неевклидовой геометрией. Но не все знают, что все математические соотношения "геометрии Лобачевского" выражаются с помощью гиперболических функций (2). Поэтому "геометрию Лобачевского" часто называют гиперболической геометрией. Но наибольший вклад в использование гиперболических функций для описания пространственно-временных соотношений в окружающем нас мире внес выдающийся немецкий математик Герман Минковский. В 1908 г., то есть спустя три года после обнародования Эйнштейном специальной теории относительности, Минковский представил геометрическое обоснование специальной теории относительности. Главной математической идеей Минковского стало использование гиперболических функций (2) для моделирования открытого им геометрического мира, названного "четырехмерным миром Минковского".

В конце 80-х годов украинские математики А.П. Стахов и И.С. Ткаченко предложили новый класс гиперболических функций, названный гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка. По рекомендации выдающегося украинского математика Ю.А. Митропольского этот научный результат был опубликован в 1993 г. в журнале "Доклады Академии наук Украины" [1]. В 2003 г. автор настоящей статьи опубликовал книгу [2], посвященную новой теории гиперболических функций. "Вступительное слово" к этой книге написано Ю.А. Митропольским. Чтобы подчеркнуть и закрепить приоритет украинской математики в этом открытии, Ю.А. Митропольский предложил называть новые функции гиперболическими функциями Стахова-Ткаченко. Статья [3] посвящена дальнейшему развитию новой теории гиперболических функций. В ней введены так называемые симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка.

Цель настоящей статьи - изложить в доступной форме новую теорию гиперболических функций, созданную украинскими учеными [1-3], и наметить основные направления их приложений в современной науке. Данная статья относится к математике, и, к сожалению, автор вынужден использовать некоторые математические формулы для изложения сути своего математического открытия. Автор приложил все усилия, чтобы все использованные формулы были доступны даже непосвященному читателю.

2. Формулы Бине. Кроме чисел p и е в математике существует еще одна фундаментальная константа, выражающая "гармонические" отношения в окружающей нас мире. Речь идет об иррациональном числе , имеющем много восхитительных названий: золотое сечение или золотая пропорция (Леонардо да Винчи), божественная пропорция (Лука Пачиоли и Иоганн Кеплер) и т.д.

С этим удивительным числом тесно связаны две числовые последовательности: числа Фибоначчи Fn, введенные итальянским математиком Фибоначчи в 13-м веке, и числа Люка Ln, введенные французским математиком Люка в 19-м веке. Ниже в таблице представлены эти числовые последовательности, расширенные в сторону отрицательных значений индекса n (n = 0, ±1, ±2, ±3, ...).

n012345678910
Fn011235813213455
F-n01-12-35-813-2134-55
Ln213471118294776123
L-n2-13-47-1118-2947-76123

Сравнивая попарно числа Фибоначчи и Люка с положительными и отрицательными индексами n, легко установить следующие замечательные соотношения, их связывающие:

F2k+1 = F-2k-1, F2k = - F-2k
(4)
L2k = L2k, L2k+1 = - L-2k-1
(5)

Эти соотношения, которые справедливы для любых значений целочисленного индекса n, изменяющегося в пределах от -¥ до +¥, вызывают неосознанное чувство ритма и гармонии, заложенное в последовательностях Фибоначчи и Люка, и трудно отказаться от мысли о божественном характере их происхождения!

Золотое сечение пронизывает всю историю искусства. Начиная с Древнего Египта, золотое сечение становится "главным эстетическим принципом" и объектом восторженного поклонения. Пирамида Хеопса, самая известная из Египетских пирамид, знаменитый греческий храм Парфенон, большинство греческих скульптурных памятников, непревзойденная "Джоконда" Леонардо да Винчи, "Витязь в тигровой шкуре" Шота Руставели, картины Рафаэля, Шишкина и современного русского художника Константина Васильева, этюды Шопена, музыка Бетховена, Чайковского и Бэллы Барток, "Модулор" Корбюзье, "Броненосец Потемкин" Эйзенштейна, - вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, наполненных чудесной гармонией, основанной на Золотом Сечении. Более подробно об этом можно узнать в сайте "Музей Гармонии и Золотого Сечения" http://www.goldenmuseum.com/, созданном автором на Интернете в 2001 г. совместно с Анной Слученковой.

Иоганн Кеплер назвал "Золотое Сечение" одним из сокровищ геометрии, поставив его в один ряд с "Теоремой Пифагора", одной из самых знаменитых геометрических теорем. К сожалению, приходится констатировать, что в современном математическом образовании роль "Золотого Сечения" незаслуженно принижена. В чем причина этого? Возможно, причина состоит в широком использовании "Золотого Сечения" в астрологии и так называемых "эзотерических науках". Известно, что основные символы астрологии (астра, пентаграмма, Платоновы тела и т.д.) тесно связаны с "Золотым Сечением". Возможно, что именно это обстоятельство и стало основной причиной того, что "материалистическая" наука, а вместе с ней и "материалистическое" образование выбросили "Золотое Сечение" на "свалку сомнительных научных концепций" и тем самым "кастрировали" современное математическое образование. Результат налицо: большинство так называемых "образованных" людей знают "Теорему Пифагора", но при этом имеют весьма смутное представление о золотом сечении, "втором сокровище геометрии" (Иоганн Кеплер).

Тем не менее рекуррентные ряды Фибоначчи и Люка и связанное с ними золотое сечение занимают значительное место в современных исследованиях количественных соотношениях живой и неживой природы. Яркие открытия современной науки - квазикристаллы Шехтмана, новая геометрическая теория филлотаксиса украинского архитектора Боднара, закон структурной гармонии систем белорусского философа Сороко, резонансная теория Солнечной системы российского астронома Бутусова и другие современные научные открытия, основанные на золотом сечении, несомненно имеют "стратегическое" значение для развития современной науки. Необходимо отметить также большой интерес современной теоретической физики к золотому сечению. Другими словами, в настоящее время невозможно представить себе дальнейшее развитие наук о природе без золотого сечения. И есть надежда, что и математическое образование не останется в стороне от чисел Фибоначчи и золотого сечения.

Пожалуй, наиболее удивительными формулами "теории чисел Фибоначчи" являются так называемые формулы Бине, выведенные в 19-м веке французским математиком Бине. Эти формулы связывают числа Фибоначчи Fn и числа Люка Ln с золотой пропорцией . При этом эта связь выражается в виде следующих "формул Бине":

; ,
(6)

где дискретная переменная n принимает значения из множества {0, ±1, ±2, ±3, ...}.

А теперь проведем анализ формул (6). Как вытекает их приведенной выше таблицы, числа Фибоначчи и Люка всегда являются целыми числами, то есть левая часть каждой из формул (6) представляет собой целое число. Но ведь правая часть каждой из формул (6) выражается с помощью иррациональных чисел типа tn и t-n. Например, только в фантастическом сне можно поверить в реальность следующей формулы, абсолютно точно задающей знаменитую "чертову дюжину", которая является числом Фибоначчи F7 = 13:

,

но эта формула есть только частный случай общей "формулы Бине", задающей бесконечную совокупность всех чисел Фибоначчи!

3. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка. А теперь сравним формулы Бине (6) с гиперболичесими функциями (2). Не надо быть Лобачевским, чтобы увидеть удивительное сходство между ними. После несложных преобразований формул Бине (6) А.П. Стахов и И.С. Ткаченко дополнили класс существующих "элементарных функций" четырьмя новыми функциями:

Фибоначчиевый гиперболический синус и косинус
(7)
Люковый гиперболический синус и косинус
(8)

Заметим, что для дискретных значений переменной x = k, k = 0, ±1, ±2, ±3, ..., фибоначчиевые и люковые гиперболические функции (7), (8) совпадают с числами Фибоначчи и числами Люка, причем

sF (k) = F2k; cF (k) = F2k+1; sL (k) = L2k+1; cL (k) = L2k.
(9)

Свойство (9) является отличительной особенностью введенных выше гиперболических функций Фибоначчи и Люка (7), (8) по сравнению с классическими гиперболическими функциями (2), которые не имеют "дискретного аналога".

Функции (7), (8) обладают удивительными математическимми свойствами. Приведем только некоторые из них, доказанные в [2]:

(sFx)2 - cF(x-1) × cFx = -1; (cFx)2 - sFx × sF(x+1) = 1.
(10)

Заметим, что эти замечательные формулы играют в теории гиперболичеких функций Фибоначчи и Люка такую же роль, что и формулы (1), (3) в теории тригонометрических функций и классических гиперболических функций (2).

Формулы (7), (8), а также вытекающие из них тождества типа (10) и составляют суть нового математического открытия, которое по праву принадлежит украинской науке.

4. "Непрерывный" подход к теории чисел Фибоначчи. Начиная со второй половины 20-го века, интерес к числам Фибоначчи и золотому сечению значительно возрос. Можно даже говорить о некотором процессе глобальной "фибоначчизации" современной науки. Учитывая огромный интерес к числам Фибоначии, числам Люка и золотому сечению, группа американских математиков во главе с Вернером Хоггаттом организовала в 1963 г. математическую Фибоначчи-ассоциацию, которая поставила своей главной целью развитие "теории чисел Фибоначчи" и ее приложений в современной науке. С 1963 г. Фибоначчи-ассоциация начала издавать ежеквартально новый математический журнал "The Fibonacci Quarterly", а начиная с 1984 г., проводить один раз в 2 года Международную конференцию "Числа Фибоначчи и их приложения".

Что же дают для "теории чисел Фибоначчи" введенные выше гиперболические функции Фибоначчи и Люка? Для ответа на этот вопрос обратимся еще раз к соотношениям (9). Из этих соотношений вытекает, что числа Фибоначчи и числа Люка являются частными ("дискретными") случаями класса более сложных математических объектов, какими являются функции (7), (8). Например, в отличие от чисел Фибоначчи и Люка функции (7), (8) можно интегрировать, дифференцировать и т.д. При этом каждому непрерывному тождеству для функций (7), (8) соответствует некоторое "дискретное" тождество для чисел Фибоначчи и Люка. Отсюда вытекает, что "теория чисел Фибоначчи" как бы "вырождается" и сводится к "теории гиперболических функций Фибоначчи и Люка". В таком неожиданном подходе и состоит первый "стратегический" научный результат, вытекающий из нового класа гиперболических функций, введенных в [1-3]. То есть математикам-фибоначчистам ничего не остается, как "сушить весла" и переходить к исследованию других математических объектов.

5. Неевклидова геометрия живой природы. Уже со времен Кеплера известно, что на поверхности многих плотноупакованных биоформ (головка подсолнечника, сосновая и кедровая шишка, ананас, кактус) можно выделить две группы спиралей, на пересечении которых и находятся элементы биоформ (чешуйки или семена); при этом отношение левых и правых спиралей подчиняется "закону филлотаксиса", в соответствии с которым численные отношения левых и правых спиралей (порядок филллотаксиса) всегда равно отношению соседних чисел Фибоначчи, которое в пределе стремится к золотому сечению:

,

Наблюдая филлотаксисные объекты и получая наслаждение от четко упорядоченной картины на их поверхности, можно задаться вопросом: как формируется на их поверхности "решетка Фибоначчи" в процессе их роста? Эта проблема представляет собой одну из наиболее интригующих загадок живой природы, уходящих в своих истоках к генетическому коду. Ее сущность состоит в том, что большинство видов биологических форм изменяет свой порядок филлотаксиса по мере своего роста. Известно, например, что диски подсолнечника, расположенные на различных уровнях одного и того же стебля, имеют различные порядки филлотаксиса. При этом, чем старше диск, тем выше его порядок филлотаксиса. Это означает, что во время роста "филллотаксисного объекта" происходит естественная модификация порядков филлотаксиса согласно закону:

(11)

Украинский архитектор Олег Боднар, в своей книге [4] решил "загадку филлотаксиса", представленную числовой последовательностью (11). Моделируя рост филллотаксисных объектов, он использовал гиперболические функции, подобные функциям (7), (8). Из исследований Боднара вытекает еще один "стратегический" вывод, касающийся функций (7), (8): возможно, что именно этот класс гиперболических функций, обладающих "рекуррентными" свойствами, лежит в основе неевклидовой геометрии живой природы.

Выше мы упоминали, что классические гиперболические функции (2) лежат в основе "геометрии Лобачевского" и "четырехмерного мира Минковского". Но функции (7), (8) вполне можно использовать для разработки "гиперболической геометрии Лобачевского-Фибоначчи" и "четырехмерного мира Минковского-Фибоначчи"! Трудно переоценить значение такого подхода для развития современных космологических исследований! И возможно, эти исследования приведут к подтверждению гениальной догадки Платона, сформулированной в высказывании Алексея Лосева, взятого в качесиве эпиграфа к настоящей статье!

6. "Золотые" матрицы и новая теория кодирования. Совсем недавно с использованием функций (7) автором разработан новый класс матриц, названных "золотыми" матрицами [5]:

(12)

Заметим, что матрица (12) является функцией непрерывной переменной x, которая изменяется в пределах от -¥ до +¥, то есть выражение (12) на самом деле задает бесконечное число квадратных матриц, так как каждому x соответствует своя матрица (12). Но все эти матрицы объединены общим свойством: Det Q(x) = 1, что непосредственно следует из свойства (10).

Какое же практическое приложение может иметь "золотая" матрица (12)? В книге [5] разработана новая теория кодирования дискретных сигналов. Кодирование сводится к представлению множества из четырех дискретных сигналов в виде квадратной матрицы А и ее умножению на кодирующую матрицу (12); при этом образуется кодовая матрица Е(x) = А × Q(x); декодирование сводится к умножению кодовой матрицы Е(x) на декодирующую матрицу Q(-x), инверсную к Q(x).

В [5] показано, что наиболее эффективной областью приложения нового метода кодирования/декодирования является криптографмческая защита дискретных сигналов. Учитывая высокую криптографическую способность метода и простоту его технической и программной реализации, можно ожидать, что метод найдет широкое применение в таких важных системах связи, как военные и космические системы связи, банковские системы связи, Интернет, телефонные и радио системы связи и др.

7. Международная конференция по Золотому Сечению. Как упоминалось, в 2001 г. по инициативе автора на Интернете создан двуязычный сайт (русский и английский язык) "Музей Гармонии и Золотого Сечения", который стал некоторой сенсацией в мировом информационном сообществе и был признан Русской информационной сетью "Лучшее в Интернете" одним из лучших сайтов подобного типа. Этот сайт, а также лекции автора по золотому сечению, прочитанные на факультете компьютерных наук Харьковского Национального университета (апрель 2003 г.) и на семинаре "Геометрия и Физика" кафедры теоретической физики Московского университета (май 2003 г.), стали побудительной причиной проведения Международной конференции "Проблемы Гармонии, Симметрии и Золотого Сечения в Природе, Науке и Искусстве" (Винница, октябрь 2003 г.). Поскольку конференция оказалось первой в истории мировой науки конференцией, посвященной "Золотому Сечению", то сам факт ее проведения в Украине является свидетельством лидирующей роли Украинской науки в этом важном научном направлении. Решением конференции был учрежден Международный Клуб Золотого Сечения, а автор статьи был избран его Президентом.

Конференция вызвала весьма положительную реакцию со стороны средств массовой информации (газеты "Подолія" [6], "Вінниччина" [7], "Зеркало Недели" [8], "RIA" [9]).

В заключение автор хотел бы выразить благодарность академику Митропольскому Ю.А. за постоянную поддержку и внимание к научным исследованиям автора.



Литература:

  1. Стахов А.П., Ткаченко И.С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. - Доповіді Академії наук Україны, 1993, №7.
  2. Stakhov A.P. Hyperbolic Fibonacci and Lucas functions: A new mathematics for the alive nature. - Vinnitsa, Publisher "ITI", 2003.
  3. Stakhov A., Rozin B. On a new class of hyperbolic function. - Chaos, Solitons & Fractals, 2004, V. 23, No.2. - pp. 379-389.
  4. Боднар О.Я. Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве. - Львов: Издательство "Свит", 1994.
  5. Stakhov O.P. Fibonacci Computer Science (manuscript). Toronto: International Club of the Golden Section, 2004.
  6. Олексій Стахов міг би стати Нобелівським лауреатом ... Газета "Подолія", №114 (20271) від 8 липня 2003 р.
  7. Закон Золотого Перетину - ключ до пізнання світу Гармонії. Газета "Вінниччина", №176 (21179) від 31 жовтня 2003 р.
  8. Алгебра Гармонии. Компьютеры третьего поколения и Пирамида Хеопса построены по одному принципу - "Золотого Сечения". Еженедельник "Зеркало Недели", №44 (469), 15-22 ноября 2003 г. http://www.zerkalo-nedeli.com/nn/show/469/43751/
  9. Украинский Гейтс, профессор Стахов, уезжает на Запад. Газета RIA, 14-21 сентября 2003 г. http://www.ria.ua/view.php?id=9316