10-я проблема Гильберта: история математического открытия
(Диофант, Ферма, Гильберт, Джулия Робинзон, Николай Воробьев, Юрий Матиясевич)

Проблемы Гильберта

Летом 1900 г. математики собрались на свой второй Международный конгресс в Париже. Знаменитый немецкий математик, профессор Геттингенского университета Давид Гильберт (1862-1943) был приглашен сделать один из основных докладов. Крупнейший математик мира, он прославился своими работами по алгебре и теории чисел, а незадолго перед конгрессом решительно перестроил аксиоматику евклидовой геометрии в своем фундаментальном сочинении "Основания геометрии" (1899 г.). После долгих колебаний Гильберт выбрал необычную форму доклада. В своем докладе "Математические проблемы" он решил сформулировать те проблемы, которые, по его мнению, должны определять развитие математики в наступающем веке.

Обращение Гильберта к Международному Математическому Конгрессу, состоявшемуся в 1900 г. в Париже, является, возможно, наиболее значительной лекцией, прочитанной математиком для математиков и посвященной проблемам математики. В своей лекции Гильберт изложил 23 главные математические проблемы, которые должны быть решены в новом столетии. Некоторые из них являются весьма широкими, такие, как аксиоматизация физики (6-я Проблема) и, возможно, никогда не смогут быть завершены полностью. Другие проблемы, такие, как 3-я Проблема, имели значительно более специальный характер и были быстро решены. Некоторые из них были решены в противовес ожидания Гильберта, например, "континуум-гипотеза" (1-я Проблема).

Лекция Гильберта была больше, чем простое собрание математических проблем. Она отражала его философию математики и предлагала проблемы, важные с точки зрения его философии. И хотя прошло более столетия, лекция Гильберта является такой же важной и может быть прочитана с большим интересом каждым, кто интересуется математическими исследованиями.

Давид Гильберт (1862 - 1943)

Давид Гильберт (1862 - 1943).

В нашем Музее мы не будем анализировать детально все 23 проблемы Гильберта. Мы остановимся только на одной из них, 10-й Проблеме Гильберта. Ее блестящее решение было сделано недавно (1970 г.) русским математиком Юрием Матиясевичем. Почему мы выбрали именно эту проблему Гильберта? Во-первых, потому, что эта проблема уже решена, а во-вторых, потому что в ее решении существенную роль сыграли числа Фибоначчи, являющиеся предметом настоящего Музея.

Диофантовы уравнения

Как известно, 10-я проблема Гильберта называется "Задачей о разрешении диофантовых уравнений" и для того, чтобы объяснить суть этой проблемы, мы должны возвратиться на 17 веков назад к античному математику Диофанту. Мы очень мало знаем о Диофанте, который считается последним великим математиком античности. Его творчество сыграло столь значительную роль в истории алгебры, что многие историки математики приложили немало усилий, чтобы определить срок его жизни. Предполагается, что он жил в середине 3-го столетия н.э. и прожил 84 года. Его творчество сыграло настолько большую роль в истории алгебры, что многие историки математики потратили немало усилий, чтобы определить время его жизни. Основным произведением Диофанта была "Арифметика". Именно это фундаментальное математическое сочинение, состоящее из 13 книг, явилось поворотным пунктом в развитии алгебры и теории чисел. Именно в этой книге произошел окончательный отказ от так называемой "геометрической алгебры" (когда решение алгебраической задачи сводилось к геометрическому построению с помощью циркуля и линейки) и переход к новому математическому языку, так называемой "буквенной алгебре".

Уже в 5-м веке до н.э. в греческой математике появились задачи, которые не могли быть решены средствами классической геометрической алгебры. Обычно при этом упоминают три знаменитые математические задачи древности: задача удвоения куба, трисекции угла и квадратуры круга. Впоследствии к этим задачам была присоединена и четвертая: узнать, какие многоугольники с простым числом сторон могут быть построены циркулем и линейкой?

Как известно, одной из важнейших задач алгебры всегда было решение алгебраических уравнений, к которым сводятся многие задачи математики. Решения уравнений первой и второй степени "в радикалах" не представляли особых трудностей для математиков (по крайней мере, любой школьник знает общую формулу для вычисления корней алгебраического уравнения второй степени), решение уравнений третьей степени оказалось более сложным и общая формула для вычисления корней такого уравнения была найдена только в 16-м веке итальянскими математиками Ферро и Тарталья. Одной из самых важных задач теории алгебраических уравнений в 17-18-м веках стало отыскание формулы для решения уравнений 5-й степени. Эти исследования были завершены работами французского математика Эвариста Галуа и привели к созданию новой алгебры.

Что же нового в развитие этой области внес Диофант и почему его имя до сих пор не сходит со страниц математических учебников? Проблема нахождения решений алгебраических уравнений в области целых чисел хорошо известна с момента возникновения математики. Некоторые из таких алгебраических уравнений вообще не имеют решений. Например, уравнение 2x - 2y = 1 не может быть решено в области целых чисел, так как левая часть уравнения всегда является четным числом. Некоторые другие уравнения имеют конечное число решений. Например, уравнение 3x = 6 имеет единственное решение x = 2. И наконец, некоторые уравнения имеют бесконечное множество решений. В качестве примера найдем решения алгебраического уравнения 7x - 17y = 1:

x = (17y + 1)/7 = 2y + (3y + 1)/7.

Число (3y + 1)/7 должно быть целым, обозначим его через z. Тогда 3y + 1 = 7z и x = 2y + z. Таким образом, мы пришли к уравнению 3y - 7z = -1, имеющему меньшие коэффициенты по сравнению с исходным. Теперь применим "метод уменьшения коэффициентов" еще раз:

y = (7z - 1)/3 = 2z + (z - 1)/3.

Число (z - 1)/3 должно быть целым, обозначим его через t. Тогда мы имеем:

z = 3t + 1, и y = 2z + t = 7t + 2,

x = 2y + z = 2(7t + 2) + 3t + 1 = 17t + 5.

Если теперь принять t = 0, 1, -1, 2, -2, ..., мы получим бесконечное множество решений уравнения 7x - 17y = 1 (более того, мы получаем таким путем все решения этого уравнения):

x = 5, y = 2; x = 22, y = 9; x = -12, y = -5; x = 39, y = 16; ... .

В общем рассмотренное выше "алгебраическое уравнение в области целых чисел" может обозначено как P = 0, где P является полиномом с целыми коэффициентами и одним, двумя, тремя и более переменными ("неизвестными"). Например, 7x2 - 5xy - 3y2 + 2x + 4y - 11 = 0, или x3 + y3 = z3. Проблема состоит в следующем: дано алгебраическое уравнение P(x, y, ...) = 0, как определить - имеет ли оно решения в области целых чисел, и если имеет, то как их найти наиболее эффективно? Такие уравнения называются Диофантовыми уравнениями.

Великая теорема Ферма

Следующий шаг состоит в рассмотрении Диофантовых уравнений 3-й, 4-й степени и т.д. Рассмотрим, например, алгебраическое уравнение x2 + y2 = z2, связывающее стороны x, y, z прямоугольного треугольника. Натуральные числа x, y и z, являющиеся решениями этого уравнения, называются "пифагоровыми тройками". Таковы, например числа 3, 4, 5. Мы уже упоминали в нашем Музее, что треугольник с такими сторонами назывался "священным" или "египетским" и был положен древними египтянами в основу Пирамиды Хефрена.

Математики Древней Греции знали все пифагоровы тройки, которые они получали с помощью следующих формул:

x = m2 - n2, y = 2mn, z = m2 + n2,

где m и n -целые числа, причем m > n > 0.

К работам Диофанта имеют непосредственное отношение и математические исследования французского математика Пьера Ферма. Считается, что именно с работ Ферма началась новая волна в развитии теории чисел. И одна из его задач - это знаменитое "уравнение Ферма":

xn + yn = zn

Это уравнение Ферма привел на полях принадлежащей ему книги Диофанта, где он сделал следующую приписку: " ... Невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля слишком узки". Другими словами, уравнение (2) при n > 2 не имеет решений в натуральных числах.

С этого высказывания и начинается одна из самых волнующих историй в математике - история "Великой Теоремы Ферма" (так стали называть это утверждение). И то, что Ферма не оставил доказательства, никого не удивило - он почти не оставлял доказательств своих арифметических теорем.

Пьер Ферма (1601 - 1665)

Пьер Ферма (1601 - 1665).

Многие великие математики (Эйлер, Лежандр, Куммер) участвовали в доказательстве "Великой теоремы Ферма" и привели довольно сложные доказательства ее справедливости для частных случаев. В этой связи утверждение Ферма о том, что его доказательство этой теоремы "не уместилось на полях", кажется просто невероятным.

Считается, что последняя точка в решении "Великой теоремы Ферма" была поставлена в 1993 году Andrew Wiles, английским математиком, работающим в Принстонском университете (США).

Десятая проблема Гильберта

До сих пор мы не имеем общего метода решения произвольного Диофантового уравнения 3-й степени. Все хитроумные методы, изобретенные умнейшими математиками, приложимч только для очень специфических случаев уравнения 3-й степени. Почему?

В августе 1900 г. в Париже состоялся Второй Математический Конгресс. В своей лекции, прочитанной 8-го августа, выдающийся математик Давид Гильберт изложил свои знаменитые 23 математические проблемы для математиков наступающего 20-го столетия. 10-я Проблема Гильберта была сформулирована следующим образом.

10. Определение разрешимости Диофантового уравнения

Задано Диофантово уравнение с некоторым числом неизвестных и рациональными целыми коэффициентами. Необходимо придумать процедуру, которая могла определить за конечное число операций - является ли уравнение разрешимым в рациональных целых числах.

Десятая проблема Гильберта относится к так называемым "decision problem", то есть проблема состоит из бесконечного количества индивидуальных проблем, каждая из которых требует определенного ответа: ДА или НЕТ. Суть этой проблемы состоит в том, чтобы найти единый метод, который давал бы ответ о разрешимости для любой индивидуальной суб-проблеме. Со времени Диофанта специалисты в теории чисел нашли решения для большого количества Диофантовых уравнений, а также установили неразрешимость большого числа других Диофантовых уравнений. К сожалению, для различных классов уравнений и даже для различных частных уравнений необходимо было изобретать различные специфические методы. В своей "Десятой Проблеме" Гильберт ставил вопрос об универсальном методе для определения разрешимости Диофантовых уравнений.

Джулия Робинзон

Имя американского математика Джулии Робинзон не может быть отделено от десятой проблемы Гильберта. Рассмотрим научную биографию Джулии Робинзон. Она родилась 8-го декабря 1919 г. и умерла 30-го июля 1985 г. в США. После окончания средней школы в Сан Диего она поступила в государственный колледж Сан Диего. Затем она перевелась в Калифорнийский университет в Беркли. Робинзон получила докторскую степень в 1948 г. и в этом же году она начала работать над десятой проблемой Гильберта: найти эффективный способ, чтобы определить: является ли разрешимым Диофантово уравнение. Вместе с Мартином Девисом и Хиллари Путман она получила ряд математических результатов, которые являлись существенным вкладом в решение десятой проблемы Гильберта. Она также сделала важную работу по этой проблеме вместе с Матиясевичем, после того как он дал решение десятой проблемы Гильберта в 1970 г.

Джулия Робинзон (1919 - 1985)

Джулия Робинзон (1919 - 1985).

Джулия Робинзон получила много почетных наград. Она была первой женщиной, которая была выбрана в Национальную Академию наук в 1975 г., первой женщиной, которая стала в 1978 г. должностным лицом Американского математического общества, и первой женщиной - Президентом этого Общества в 1982 г. Она была избрана в Американскую Академию искусств и наук в 1984. Она была награждена MacArthur Fellowship в 1983 г. в честь признания ее вклада в развитие математики.

Юрий Матиясевич

Десятая проблема Гильберта была решена молодым русским математиком Юрием Матиясевичем в 1970 г. Но кто такой Юрий Матеясевич? Юрий Матиясевич родился 2-го марта 1947 г. в Лениграде. В 1969 г. он закончил кафедру математики и механики Ленинградского государственного университета и продолжил свою учебу в качестве аспиранта в Институте математики им. Стеклова (Ленинградское отделение). С 1970 г. и до настоящего времени он работает в этом институте в настоящее время в качестве заведующего Лаборатории математической логики.

Имя Юрия Матиясевича стало широко известным в 1970 г., когда он завершил последний недостающий шаг в "негативном решении" десятой проблемы Гильберта.

Юрий Матиясевич является почетным доктором Universite d'Auvergne (Франция, 1966) и член корреспондентом Академии наук России (1997 г.). Историю своего открытия и историю своего сотрудничества с Джулией Робинзон он изложил в своих двух замечательных статьях "Десятая проблема Гильберта: двусторонний мост между теорией чисел и компьютерной наукой" и "Мое сотрудничество с Джулией Робинзон" (http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat/Julia/).

Как следует из этих статей, он начал изучать десятую проблему Гильберта в 1965 г., когда он еще был второкурсником кафедры математики и механики Ленинградского государственного университета. Именно в этот период он познакомился со статьей Мартина Девиса, Джулии Робинзон и Хилари Путман по десятой проблеме Гильберта. Эта и другие статьи Джулии Робинсон, а также персональный контакт с Джулией Робинзон оказали огромное влияние на работы Матиясевича.

Юрий Матиясевич вместе со своим учеником Максимом Всемирновым

Юрий Матиясевич вместе со своим учеником Максимом Всемирновым (справа)
(Ноябрь 1997 г., Санкт-Петербург, Россия).

Естественно, мы не можем рассказать нашим читателем все математические детали рассуждений Юрия Матиясевича, которые привели его к решению 10-й проблемы Гильберта. Мы попытаемся изложить только те общие идеи этого решения, которые касаются чисел Фибоначчи. Для этого предоставим слово Юрию Матиясевичу:

"Идея состояла в следующем. В компьютере для представления информации используются двоичные слова вместо чисел. Существует много способов представления слов с помощью чисел. Один из таких методов естественным способом связан с Диофантовыми уравнениями. А именно, нетрудно показать, что каждая матрица размером 2 ´ 2

с элементами m, являющимися неотрицательными целыми числами и детерминантом, равным 1, может быть представлена единственным способом как произведение матриц

Очевидно, что всякое произведение таких матриц имеет в качестве своих элементов неотрицательные целые числа и детерминант, равный 1. Отсюда вытекает, что мы можем единственным образом представить двоичное слово с помощью четырех чисел (m11, m12, m21, m22) таких, что

при этом эти числа удовлетворяют следующему Диофантовому уравнению:

m11 ´ m22 - m21 ´ m12 = 1.

При таком представлении слов с помощью матрицы, последовательное соединение слов соответствует матричному умножению и таким образом оно может быть легко выражено как система Диофантовых уравнений. Такой подход открывает путь преобразования произвольной системы уравнений для двоичных слов в эквивалентные Диофантовы уравнения. Многие "проблемы разрешимости" относительно двоичных слов являются неразрешимыми, так что естественно было бы попытаться атаковать 10-ю проблему Гильберта путем проверки на неразрешимость систем уравнений для слов".

Из этих рассуждений вытекает основная идея Матииасевича - свести решение проблемы неразрешимости Диофантовых уравнений к проверке неразрешимости систем уравнений для двоичных слов!

И сейчас мы приблизились к использованию чисел Фибоначчи для решения 10-й проблемы Гильберта. Матиясевич пишет:

"Мой следующий шаг состоял в том, чтобы рассмотреть широкий класс уравнений для двоичных слов дополнительными условиями. Так как конечной целью всегда была 10-я проблема Гильберта я мог бы рассматривать только такие условия, которые (при подходящем кодировании) были бы представлены Диофантовыми уравнениями. Таким путем я пришел к таким уравнениями, которые я назвал "equations in words and length" (уравнениями с ограниченными длинами серий). Приведение к таким уравнениям было основано на знаменитых числах Фибоначчи. Хорошо извкстно, что каждое натуральное число может быть представлено единственным образом как сумма различных чисел Фибоначчи, в которой нет двух соседних чисел Фибоначчи (так называемое представление Цекендорфа). Таким образом, мы можем рассматривать натуральные числа как двоичные словах с дополнительным условием, что в таких двоичных словах две 1 рядом не встречаются. Я изловчился показать, что при таком представлении чисел двоичными словами как последовательности слов, так и уравнения, равные длине двух слов, могут быть выражены Диофантовыми уравнениями".

Представление Цекендорфа

Вряд ли бельгийский врач Эдуард Цекендорф (1901-1983) мог предполагать, что его увлечение математикой окажется настолько серьезным, что один из его математических результатов будет использован при решении 10-й проблемы Гильберта. Речь идет о знаменитых "суммах Цекендорфа" или "представлении Цекендорфа". В 1939 г. Цекендорф опубликовал статью, в которой доказал теорему о том, что каждое положительное целое число имеет единственное представление в виде суммы чисел Фибоначчи, в которой два соседних числа Фибоначчи никогда не используются.

Поясним эту теорему на простом примере. Предположим, что требуется представить в коде Фибоначчи число 30. Выберем в качестве весов разрядов для такого представления следующие числа Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. Тогда существует несколько способов представления числа 30 в виде суммы чисел Фибоначчи: 30 = 21 + 8 + 1 = 21 + 5 + 3 + 1 = 13 + 8 + 5 + 3 + 1 = 13 + 8 + 5 + 2 + 1 + 1. Но среди них можно выделить только одно представление 30 = 21 + 8 + 1, в котором два соседних числа Фибоначчи никогда рядом не встречаются. Цекендорф доказал, что этот результат носит общий характер и справедлив для любого натурального числа.

Заметим, что указанное выше "представление Цекендорфа" называется "минимальной формой". Именно идея "минимальной формы" лежит в основе рассмотренной выше "Фибоначчиевой арифметики". Заметим также, что исследование "сумм Цекендорфа" явилось предметом многих статей, опубликованных в "The Fibonacci Quarterly".

Озарение Джулии Робинзон

Однако идея использования чисел Фибоначчи и "представления Цекендорфа" была лишь некоторым важным шагом в решении 10-й проблемы Гильберта. Как вспоминает Матиясевич, "однако, я был не способен показать неразрешимость уравнений "in words and length" (и эта проблема оставалась открытой)". Нужна была новая идея, которая могла бы продвинуть вперед решение проблемы. И автором такой идеи стала Джулия Робинзон. Однако предоставим слово Юрию Матиясевичу:

"Однажды осенью 1969 г. кто-то из моих коллег сказал мне: "Беги в библиотеку. В последнем издании трудов Американского математического общества опубликована новая статья Джулии Робинзон!" Но я твердо решил отложить 10-ю проблему Гильберта на потом. И я сказал себе: "Хорошо, что Джулия Робинзон продолжает заниматься этой проблемой, но я не могу тратить свое время на ее решение". И поэтому я не побежал в библиотеку.

Но где-то в "математических небесах" был Бог или Богиня, которые не позволили мне отказаться от чтения новой статьи Джулии Робинзон. С учетом моих предыдущих публикаций по этой проблеме, меня рассматривали как специалиста по этой проблеме и поэтому статья была прислана мне на отзыв в связи с ее публикацией в "Реферативном журнале Математика", советском аналоге "Mathematical Reviews". Таким образом, я вынужден был прочитать статью Джулии Робинзон и 11 декабря я представил ее на нашем семинаре в Математическом институте имени Стеклова.

10-я проблема Гильберта вновь захватила меня. Я сразу же увидел, что Джулия Робинзон имела свежую и чудесную идею. Эта идея была связана со специальной формой уравнения Пэлли

x2 - (a2 -1)y2 = 1.(1)

Решения {c0, f0}, {c1, f1}, ..., {cn, fn}, ... этого уравнения, перечисленные в порядке их возрастания, удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению:

cn+1 = 2acn - cn-1,(2)
fn+1 = 2afn - fn-1(3)

Очень просто увидеть, что для любого m последовательности с0, с1, ..., f0, f1, ... являются периодическими по модулю m и, следовательно, также их линейные комбинации. Далее, методом индукции очень просто показать, что период последовательности

f0, f1, ..., fn, ...(mod a-1)(4)

есть

0, 1, 2, ..., a - 2,

в то время как период последовательности

c0 - (a - 2) f0, c1 - (a - 2) f1, ..., cn - (a - 2) fn, (mod 4a - 5)(5)

начинается с

20, 21, 22, ... .

Основная идея Джулии Робинзон состояла в том, чтобы синхронизовать две последовательности при наложении такого условия G(a), которое гарантировало бы, что длина периода (4) кратна длине периода (5)".

Мы не хотели бы углубляться в очень глубокие математические рассуждения Джулии Робинзон и примем на веру ее выдающийся математический результат и снова обратимся к статье Юрия Матиясевича, чтобы оценить влияние этого результата на его математическое открытие.

Теорема Воробьева

Юрий Матиясевич написал:

"Благодаря моей предыдущей работе, я понимал важность чисел Фибоначчи для решения 10-й проблемы Гильберта. Вот почему в течение лета 1969 года я читал с огромным интересом третье расширенное издание популярной книги по числам Фибоначчи, написанной Н.Н. Ворбьевым из Ленинграда. Кажется невероятным, что в 20-м столетии можно было найти что-то новое о числах, введенных Фибоначчи еще в 13-м столетии в связи с размножением кроликов. Однако, новое издание книги содержало, кроме традиционного материала, некоторые оригинальные результаты автора. На самом деле Воробьев получил на четверть столетия раньше, но он никогда их не публиковал. Его результаты привлекли мое внимание сразу же, но я был еще не способен использовать их непосредственно для построения Диофантовых представлений экспоненциального типа".

Оценивая влияние Воробьева и Робинзон на его решение 10-й проблемы Гильберта, Матиясевич пишет:

"В период, когда я уже не думал о Диофантовых уравнениях, теорема Воробьева и новые идеи Джулии Робинзон привели меня к отрицательному решению 10-й проблемы Гильберта. В январе 1970 г. я впервые выступил с докладом по Диофантовым уравнениям экспоненциального типа ...

Удивительно, для того, чтобы сконструировать Диофантово представление я нуждался в доказательстве уже нового чисто теоретико-числового результата , касающегося чисел Фибоначчи, а именно, что к-е число Фибоначчи делится квадратом l-го числа Фибоначчи, тогда и только тогда, когда k делится l-м числом Фибоначчи. Это свойство нетрудно доказать; однако поразительно то, что этот замечательный факт не был открыт даже экспериментально со времени Фибоначчи".

И далее Юрий Матиясевич оценил роль Николая Воробьева и Джулии Робинзон в решении 10-й проблемы Гильберта в следующих словах:

"Мое оригинальное доказательство ... основывалось на теореме, доказанной в 1942 г. советским математиком Николаем Воробьевым, но опубликованной только в третьем расширенном издании его популярной книги.

... После того, как я прочитал статью Джулии Робинзон, я сразу же увидел, что теорема Воробьева может быть очень полезной. Джулия Робинзон не видела 3-го издания книги Воробьева до тех пор, пока она не получила копию от меня в 1970 г. Кто мог сказать, что бы случилось, если бы Воробьев включил свою теорему в первое издание своей книги? Возможно, что 10-я проблема Гильберта была решена на десять лет раньше!"

Джулия Робинзон и Юрий Матиясевич

Относительно влияния работ Джулии Робинзон на его исследования Юрий Матиясевич написал следующее:

"Я попытался передать влияние статьи Джулии Робинзон на мою работу весьма поэтическим русским словом "навеять", которое, как мне кажется, не имеет прямого аналога в английском языке, и позже английский переводчик использовал слово "suggested".

Первая встреча Джулии Робинзон и Юрия Матиясевича, двух выдающихся математиков современности, состоялась в Бухаресте, где Матиясевич докладывал свои результаты на IV-м Международном Конгрессе по логике, методологии и философии науки. Их первая встреча стала началом их дружбы, которая оказалась весьма продуктивной в творческом отношении. В 1973 г., выдающийся советский математик A.A. Марков праздновал свое семидесятилетие. Его коллеги из Компьютерного Центра Академии наук СССР решили издать научный сборник в его честь. Юрий Матиясевич был приглашен принять участие в сборнике. По его инициативе его первая совместная с Джулией Робинзон статья была представлена в сборник и издатели согласились с таким предложением. Их вторая совместная статья была опубликована в Acta Arithmetica. В 1974 г. Американское математическое общество организовало Симпозиум "Развитие математики после проблем Гильберта". Юрий Матиясевич был приглашен чтобы сделать доклад по 10-й проблеме Гильберта., но его участие в этом Семинаре не получило необходимой поддержки в бывшем СССР, и поэтому Джулия Робинзон сделала доклад по этой проблеме.

Фото ниже сделано в Калгари в конце 1982 г., когда Юрий Матиясевич находился три месяца в Канаде в качестве участника программы научного обмена между Математическим институтом имени Стеклова и Queen's University at Kingston, Ontario. Джулия Робинзон в то время была очень занята своими новыми обязанностями Президента Американского математического общества, но она посетила Калгари на пути на заседание общества. Мартин Дэвис также прибыл в Калгари на несколько дней.

Мартин Дэвис, Джулия Робинзон, Юрий Матиясевич

Слева направо: Мартин Дэвис, Джулия Робинзон, Юрий Матиясевич (Калгари, 1982 г.)

И мы хотели закончить эту статью по истории одного из выдающихся математических открытий словами из письма Джулии Робинзон к Юрию Матиясевичу:

"Действительно, мне очень приятно, что, работая вместе (будучи разделенные тысячами миль), мы делаем, очевидно, больший прогресс, чем если бы каждый из нас работал один".