Закон преобразования спиральных биосимметрий

Как известно из ботаники, относительное расположение побегов, возникающих на конусах отростков, характеризуется "спиральной симметрией". Этот принцип расположения называется "филлотаксисом". На поверхности "филлотаксиссных" форм, особенно в плотно упакованных ботанических структурах (сосновая шишка, ананас, кактус, головка подсолнечника и др.), можно увидеть четко заметные левосторонние и правосторонние серии побегов. В соответствии с порядком симметрии филлотаксисных форм существует практика выражать такую симметрию с помощью отношений числа правых и левых спиралей. В соответствии с законом филлоотаксиса такие отношения задаются числовыми последовательностями, задаваемыми рекуррентным соотношением Фибоначчи:

Gn = Gn-1 + Gn-2.(1)

Наиболее распространенные типы филлотаксиса являются такие, которые задаются числами Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , числами Люка 1, 3, 4, 7, 11, 18, .. или числовой последовательностью 4, 5, 9, 14, 23, ..., удовлетворяющей общему рекуррентному соотношению (1).

Хорошо известно, что процесс роста филлотаксисных объектов сопровождается на определенных стадиях изменением порядка спиральной симметрии. При этом изменение является строго регулярным и соответствует правилу конструирования числовых последовательностей, порождаемых (1). В случае "фибоначчиевого" филлотаксиса изменение порядка симметрии представляется с помощью последовательности:

1:2 => 2:3 => 3:5 => 5:8 => 8:13 => 13:21 => ... .(2)

Изменение порядков симметрии филлотаксисных объектов в соответствии с (2) называется динамической симметрией.

Замечательной иллюстрацией динамической симметрии является факт строгого различия между порядками симметрии в головках подсолнечника, расположенных на различных уровнях одного и того же стебла.

Головка подсолнечника

Число спиралей на дисках подсолнечника находится в прямой зависимости от их "возраста", то есть более "старым" дискам соответствуют большие числа Фибоначчи. Наиболее часто порядок симметрии дисков, принадлежащих одному и тому же стеблю, характеризуется отношениями чисел Фибоначчи: 13:21, 21:34, 34:55, 55:89.

Все эти данные и составляют существо хорошо известной "загадки филлотаксиса". Ряд ученых, исследовавших эту проблему, предполагают, что явление филлотаксиса имеет фундаментальное междисциплинарное значение. По мнению известного русского ученого В.И. Вернадского, проблема биологической симметрии является ключевой проблемой биологии.

Владимир Иванович Вернадский (1863-1945)
Владимир Иванович Вернадский (1863-1945)

Новое решение проблемы филлотаксиса было сделано недавно украинским ученым Олегом Боднаром в его книге "Золотое сечение и неевклидова геометрия в науке и искусстве" (1994г.).

О. Боднар 'Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве' (1994)

Существо открытия Боднара состоит в следующем. Представим "филлотаксисный" объект (например, сосновую шишку) как цилиндр (Рис. 1-a), представленный на плоскости в форме "филлотаксисной" решетки (Рис. 1-b).

Филлотаксисный цилиндр и филлотаксисная решетка
Рисунок 1. Филлотаксисный цилиндр и филлотаксисная решетка.

Тогда явление "динамической симметрии" филлотаксисного объекта может быть промоделировано как последовательная замена соседних филлотаксисных решеток, соответствующих одному и тому же филлотаксисному объекту и возникающих на определенной стадии роста (Рис. 2).

Анализ филлотаксисных решеток на Рис. 2 показал, что геометрическое преобразование, переводящее решетку из одной стадии в другую, идеально моделируется с помощью понятия гиперболического поворота, которое является основным геометрическим преобразованием гиперболической геометрии. В этом и состоит сущность первого ключевого результата О. Боднара.

Анализ динамической симметрии филллотаксисного объекта
Рисунок 2. Анализ динамической симметрии филллотаксисного объекта.

Боднар создал новую геометрическую теорию филлотаксиса, основанную на понятии "золотых" гиперболических функций, которое совпадает в понятием гиперболических функций Фибоначчи. Боднар доказал, что переход филотаксисного объекта в процессе роста от одной стадии к другой идеально моделируется с использованием гиперболических функций Фибоначчи.

Открытие Боднара есть ни что иное, как раскрытие естественного механизма динамической симметрии филллотаксисных объектов. Он доказал, что изменение порядка спиральной симметрии осуществляется в процессе гиперболического поворота, который является основным преобразованием гиперболической геометрии. При этом математические соотношения гиперболических функций Фибоначчи лежат в основе живой природы. Теория Боднара хорошо объясняет, почему именно числа Фибоначчи и числа Люка возникают на поверхности филллотаксисных объектов.

Как известно, пространственно-временные свойства специальной теории относительности (геометрия Минковского) задаются с помощью гиперболической геометрии. Вот почему открытие Боднара обнаруживает непосредственную связь с пространственно-временными, то есть фундаментальными законами живой и неживой природы и свидетельствует о единстве этих законов. Из этого открытия вытекает, что гиперболическая геометрия является универсальной моделью пространственно- временных процессов, имеющих место, как в живой, так и неживой природе. При этом фундаментальным принципом преобразования в естественных процессах является гиперболический поворот. Однако, существует заметное различие между гиперболическими геометриями живой и неживой природы. Гиперболическая геометрия неживой природы основывается на классических гиперболических функциях, которые лежат в основе геометрии Лобачевского. Сущность этой геометрии выражается с помощью числа е, которое наряду с числом p является одной из важнейших математических констант математики. Гиперболическая геометрия живой природы основывается на другом классе гиперболических функций, гиперболических функциях Фибоначчи и Люка, сущность которых выражается с помощью золотой пропорции, которая является фундаментальной константой живой природы.