Квазикристаллы

Всякий научный результат является новым достижением, совершаемым в процессе научного познания природы и общества. Однако особое значение имеют так называемые революционные открытия, которые затрагивают фундамент науки и опровергают некоторые устоявшиеся научные теории и воззрения. Примером такого открытия в астрономии являются знаменитые законы Кеплера, давшие начало новой астрономии, в математике таким открытием является неевклидова геометрия, предложенная русским геометром Лобачевским, а в физике - теория относительности Эйнштейна.

К разряду таких открытий в современной физике, в частности, в кристаллографии, также относится открытие квазикристаллов, сделанное в 1984 г. израильским физиком Даном Шехтманом.

Чтобы понять и оценить значение этого открытия, необходимо вспомнить основные законы классической кристаллографии.

Как известно, кристаллами называются все твердые тела, в которых слагающие их частицы (атомы, ионы, молекулы) расположены строго закономерно наподобие узлов пространственных решеток.

В течение долгих столетий геометрия кристаллов казалась таинственной и неразрешимой загадкой. В 1619 г. великий немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер обратил внимание на шестерную симметрию снежинок. Он попытался объяснить ее тем, что кристаллы построены из мельчайших одинаковых шариков, теснейшим образом присоединенных друг другу (вокруг центрального шарика можно плотно разместить только шесть таких же шариков). Впоследствии многие великие умы (Роберт Гук, Михаил Ломоносов, Рене Жюст Гаюи, Браве и др.) приложили много усилий для раскрытия тайны кристаллов. Итогом этих изысканий было установление важнейшего закона кристаллографической симметрии, согласно которому для кристаллов возможны оси симметрии лишь первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Тем самым на кристаллических фигурах никогда не бывает симметрии пятого порядка, а также осей симметрии выше шестого, так как они невозможны в кристаллических решетках.

Так был найден важнейший закон, проводящий разницу между симметрией кристаллов и симметрией растений и животных, которые широко используют пятерную симметрию. Для кристаллов пятерные оси и оси порядка выше шестого категорически запрещены.

Таковы были каноны традиционной кристаллографии до открытия Шехтмана.

Сплав алюминия и марганца, открытый Шехтманом, образуется при сверхбыстром охлаждении расплава со скоростью 106 К в секунду. При этом образуется сплав, упорядоченный в узоре, характерном для симметрии икосаэдра, обладающего наряду с додекаэдром осями симметрии 5-го порядка.

Для теоретического объяснения открытия исследователей привлекли так называемые "фигуры или плитки Пенроуза". Английский математик Р. Пенроуз занимался "проблемой паркета", то есть проблемой плотного заполнения плоскости с помощью многоугольников. В 1972 г. ему удалось покрыть плоское пространство всего двумя простыми многоугольниками, расположенными апериодически. В своей простейшей форме "плитки Пенроуза" представляют собой неслучайный набор ромбовидных фигур двух типов, одни с внутренним углом 36°, другие - 72°.

Плитки Пенроуза

Чтобы понять математическую сущность "ромбов Пенроуза", обратимся снова к "пентаграмме.

Как известно, в пентаграмме есть ряд характерных равнобедренных треугольников. Первый из них - это треугольники типа ADC. В таком треугольнике острый угол при вершине А равен 36°, а отношение бедра АС к основанию DC равно золотой пропорции, то есть данный треугольник является "золотым". Если теперь взять два таких треугольника и соединить их вместе, чтобы их основания совпадали, то мы получим "ромб Пенроуза" на рисунке (а), который является "золотым" ромбом.

Рассмотрим теперь еще один тип равнобедренного треугольника, имеющегося в пентаграмме, например, ЕВК. В таком треугольнике острые углы при вершинах Е и В равны 36°, а тупой угол при вершине К равен 108°. Заметим, что отношение основания ЕВ треугольника к его бедру ЕК равно золотой пропорции, то есть такой треугольник также является "золотым". Если теперь соединить два таких треугольника вместе, чтобы их основания совпадали, то мы получим другой "ромб Пенроуза", изображенный на рисунке (b). Таким образом, "ромб Пенроуза" на рисунке (b) также является "золотым".

"Плитка Пенроуза" на рисунке (с) образуется из "золотых" ромбов на рисунках (а) и (b). Рисунок (с) демонстрирует начало построения "плитки Пенроуза". Возьмем 5 "золотых" ромбов типа (b) и образуем из них пятиугольную звезду. После этого добавим к пятиугольной звезде 5 "золотых" ромбов типа (а). В результате мы получим декагон, то есть правильный десятигранник. Продолжая этот процесс, то есть пристраивая к декагону новые "золотые" ромбы, можно покрыть плоскость с использованием только двух типов ромбов (а) и (b). При этом возникает некоторая апериодическая структура, называемая "плиткой Пенроуза". Доказано, что отношение числа "толстых" ромбов типа (b) к числу "тонких" ромбов в такой структуре в пределе стремится к золотой пропорции!

Паркет (мозаика) может быть хорошим аналогом кристалла. Трехмерное пространство кристалла заполняется элементарными ячейками так же, как в паркете двухмерное пространство заполняется плитками. Идея Пенроуза о плотном заполнении плоскости с помощью "золотых" ромбов типа (а) и (b) была трансформирована на трехмерное пространство. При этом роль "ромбов Пенроуза" в новых пространственных структурах могут играть икосаэдры. Эти пространственные структуры и представляют собой "квази-кристаллы" или "шехтманиты".

Как отмечает Д. Гратиа в статье "Квазикристаллы" (1988 г.) "понятие квазикристалла представляет фундаментальный интерес, потому что оно обобщает и завершает определение кристалла. Теория, основанная на этом понятии, заменяет извечную идею о "структурной единице, повторяемой в пространстве строго периодическим образом" ключевым понятием дальнего порядка. Это понятие привело к расширению кристаллоографии, вновь открытые богатства которой мы только начинаем изучать. Его значение в мире миненралов можно поставить в один ряд с добавлением понятия иррациональных чисел к рациональным в математике".

Это открытие значительно стимулировало исследования в этой интересной области. В последние годы было открыто много квазикристаллических сплавов. Оказалось, что кроме имеющих "икосаэдрическую" симметрию (пятого порядка) существуют также сплавы с декагональной симметрией (10-го порядка) и декагональной симметрией (12-го порядка).

Каково же практическое значение открытия квазикристаллов? Как отмечает Гратиа, "механическая прочность квазикристаллических сплавов резко возрастает; отсутствие периодичности приводит к замедлению распространения дислокаций по сравнению с обычными металлами … Это свойство имеет большое прикладное значение: применение икосаэдрической фазы позволит получить легкие и очень прочные сплавы внедрением мелких частиц квазикристаллов в алюминиевую матрицу".

Каково же значение открытия квазикристалллов с точки зрения темы нашего Музея? Прежде всего, открытие квазикристаллов является моментом великого торжества "додекаэдро-икосаэдрической доктрины", которая пронизывает всю историю естествознания и является источником глубоких и полезных научных идей. Во-вторых, квазикристаллы разрушили традиционное представление о непреодолимом водоразделе между миром минералов, в котором "пентагональная" симметрия была запрещена, и миром живой природы, где "пентагональная" симметрия является одной из наиболее распространенных.