"Фибоначчиевое" кодирование

Мы начинаем разрабатывать новую теорию кодирования, основанную на -матрицах, с простейшей "фибоначчиевой" Q-матрицы. Рассмотрим следующий метод кодирования. Представим исходное сообщение в виде матрицы размером 2 ´ 2:

(1)

Предположим, что наше сообщение есть последовательность десятичных цифр:

358 091 466 725.(2)

Тогда мы можем представить наше сообщение (2) в следующем виде:

(3)

Предположим, что мы выбрали для кодирования "фибоначчиевую" матрицу 5-й степени:

(4)

На предыдущих страницах нашего Музея мы ввели понятие "фибоначчиевой" матрицы, обратной (4). Поскольку число 5 нечетное, тогда матрица, обратная к (4), имеет следующий вид:

Тогда, "фибоначчиевое" кодирование сообщения M, задаваемого в матричной форме (1), состоит в умножении исходной матрицы (1) на кодирующую матрицу (4), то есть:

(5)

где

(6)

Для нашего читателя, не владеющего основами высшей математики, мы напоминаем, что "матричное умножение" является математической операцией, отличающейся от традиционного "умножения", известного нам со средней школы. Мы можем увидеть из примера (5), что произведение двух квадратных матриц M и Q5 есть матрица E того же размера, элементы которой вычисляются согласно (6).

Применим наши вычисления (6) для нашего примера (3). Тогда процедура "фибоначчиевого" кодирования приводит нас к следующей матрице E:

После этого кодовое сообщение направляется в коммуникационный канал.

Декодирование кодового сообщения E выполняется следующим способом. Кодовое сообщение E представляется в матричной форме и кодовая матрица E умножается на "обратную" матрицу Q-матрицу 5-й степени:

(7)

Вычислим элементы матрицы, которая может быть получена после декодирования, принимая во внимание (6):







Таким образом, мы имеем:

Таким образом, мы доказали возможность кодирования и однозначного декодирования исходной числовой информации, используя "фибоначчиеву" Q-матрицу любой степени. Однако, наш читатель может задать нам резонный вопрос: в чем же состоит практическое значение "фибоначчиевого" кодирования? И мы сможем ответить на этот вопрос на следующих страницах нашего Музея. Следуйте за нами!