Обобщенные "фибоначчиевые" матрицы

Можно использовать идею "фибоначчиевой" Q-матрицы для получения обобщенных "фибоначчиевых" матриц для p-чисел Фибоначчи. Введем следующее определение для Qp-матрицы:

(1)

где индекс p принимает следующие значения: 0, 1, 2, 3, ... .

Заметим, что Qp-матрица представляет собой квадратную (p + 1) ´ (p + 1)-матрицу. Она содержит единичную p ´ p матрицу, ограниченную последней строкой, состоящей из нулей, и первым столбцом, который состоит из нулей, ограниченных единицами. Для случаев p = 0, 1, 2, 3, 4 Qp-матрицы имеют следующий вид соответственно:

Сравним теперь соседние матрицы Q4 и Q3. Очень просто увидеть, что матрица Q4 сводится к матрице Q3 , если в матрице Q4 вычеркнуть последний, то есть 5-й столбец и предпоследнюю, то есть 4-ю строку. Заметим, что мы имеем 1 на пересечении 5-го столбца и 4-й строки. Поскольку сумма 5 + 4 равна нечетному числу 9, это означает, что детерминант матрицы Q3 отличается от детерминанта матрицы Q3 только знаком, то есть

Det Q4 = - Det Q3.(2)

Вы должны поверить нам, что результат (2) является верным и что он вытекает из теории матриц!

По аналогии очень просто доказать следующие соотношения для детерминантов соседних Qp-матриц:

Det Q3 = - Det Q2;     Det Q2 = - Det Q1.

Учитывая, что Det Q0 = 1 и Det Q1 = -1, мы получаем следующее удивительное математическое свойство Qp-матриц в общем случае:

Det Qp = (-1)p.(3)

Таким образом, детерминант каждой матрицы (1) зависит от значения индекса p. Если индекс p является четным числом, тогда Det Qp = 1 для всех матриц типа (1). В противоположном случае (p является нечетным числом) Det Qp = 1. Даже если вы не математик по профессии, вы можете по достоинству оценить этот чудесный математический результат!

Рассмотрим теперь матрицу , являющуюся n-й степенью Qp-матрицы. Мы не хотели бы утомлять вас сложными и "тонкими" математическим рассуждениями и приведем конечный результат:

(4)

Таким образом, матрица выражается через p-числа Фибоначчи, вытекающие из "Треугольника Паскаля". И этот результат является новым "секретом" Треугольника Паскаля!

А сейчас мы попытаемся вычислить детерминант матрицы (4). На первый взгляд, эта проблема кажется чрезвычайно сложной. Но она кажется сложной только для тех, кто не знает теорию матриц. Действительно, из теории матриц вытекает, что

Det = (Det Qp)n.(5)

Используя (3), мы можем записать выражение (5) в виде:

Det Qp = (-1)pn,(6)

где p = 0, 1, 2, 3, ... ; n = 0, ±1, ±2, ±3, ... .

И теперь мы можем выразить наше восхищение по поводу результата (6) и могущества математических теорий! Действительно, невозможно вообразить, что p-числа Фибоначчи, вытекающие из "Треугольника Паскаля", могут стать основой нового класса квадратных матриц, задаваемых выражениями (1) и (4). И результат (6) кажется нам абсолютно невероятным! Невозможно вообразить, чтобы для любого заданного р и n детерминант матрицы (4) был равен всегда либо 1 или (-1), что следует из (6)!

Ясно, что выражения (4) и (6) предоставляют неограниченные возможности для "фибоначчиевых" исследований, потому что они позволяют получить бесконечное число фундаментальных соотношений, связывающих p-числа Фибоначчи Fp(n). Например, для 2-чисел Фибоначчи (p = 2) мы имеем следующее соотношение, связывающее соседние 2-числа Фибоначчи:

Det = F2(n + 1)[F2(n - 2)F2(n - 2) - F2(n - 1)F2(n - 3)] +

+F2(n)[F2(n)F2(n - 3) - F2(n - 1)F2(n - 2)] +

+ F2(n - 1)[F2(n - 1)F2(n - 1) - F2(n)F2(n-2)] = 1.

Мы не можем предсказывать сейчас важность -матриц, задаваемых (4), и их приложений в различных областях математики, физики и других наук. Однако мы верим, что этот результат может стать таким же фундаментальным, как сам "Треугольник Паскаля", генерирующий p-числа Фибоначчи и -матрицы (4)!

А на следующих страницах нашего Музея мы попытаемся показать, как создать новую теорию кодирования, основанную на -матрицах. Следуйте за нами!