Еще раз об обобщенных числах Фибоначчи

Так называемые обобщенные числа Фибоначчи, вытекающие из "Треугольника Паскаля", играют важную роль в "Математике Гармонии". Для заданного целого p (p = 0, 1, 2, 3, ...) обобщенные числа Фибоначчи, называемые p-числами Фибоначчи, задаются следующей рекуррентной формулой:

Fp(n) = Fp(n - 1) + Fp(n-p-1) c n > p + 1;(1)
Fp(1) = Fp(2) = ... = Fp(p) = Fp(p+1) = 1(2)

Заметим, что p-числа Фибоначчи, задаваемые (1), (2), являются весьма широким обобщением классических чисел Фибоначчи, являющихся частичным случаем p-чисел Фибоначчи для случая p = 1.

Рекуррентный формула (1) при начальных условиях (2) генерирует бесконечное количество числовых последовательностей (смотри Табл. 1).

12345678910111213
01248163264128256512102420484096
11123581321345589144233
2111234691319284160
311112345710141928
4111112345791216

Для случая p = 0 ряд p-чисел Фибоначчи сводится к классическому "двоичному" ряду. Будем рассматривать теперь p-числа Фибоначчи для случаев р > 0 и расширим их последовательность в сторону отрицательных значений параметра n. Для этого мы будем использовать рекуррентное соотношение (1) и начальные условия (2) для вычисления p-чисел Фибоначчи Fp(0), Fp(-1), Fp(-2), ..., Fp(-p), ..., Fp(-2p + 1). Представляя p-число Фибоначчи Fp(p + 1) в виде (1), мы получаем:

Fp(p+1) = Fp(p) + Fp(0).(3)

Так как согласно (2) Fp(p) = Fp(p + 1) = 1, из (3) вытекает, что Fp(0) = 0.

Продолжая этот процесс, то есть, представляя p-числа Фибоначчи Fp(p), Fp(p - 1), ..., Fp(2) в виде (1), мы получаем:

Fp(0) = Fp(-1) = Fp(-2) = ... = Fp(-p + 1) = 0.(4)

Представим теперь число Fp(1) в виде:

Fp(1) = Fp(0) + Fp(-p).(5)

Так как Fp(1) = 1 и Fp(0) = 0, из (5) вытекает, что

Fp(-p) = 1.(6)

Представляя p-числа Фибоначчи Fp(0), Fp(-1), ..., Fp(-p + 1) в виде (1) , мы можем найти, что

Fp(-p - 1) = Fp(-p - 2) = ... = Fp(-2p + 1) = 0.(7)

Продолжая этот процесс, мы можем получить все значения p-чисел Фибоначчи Fp(n) для отрицательных значений n (смотри Табл. 2).

n876543210-1-2-3-4-5-6-7-8-9
F1(n)211385321101-12-35-813-2134
F2(n)964321110010-111-202
F3(n)54321111000100-1101
F4(n)4321111100001000-11
F5(n)32111111000001000-1

И теперь мы имеем все основания, чтобы ввести еще одно сложное понятие, понятие обобщенной "фибоначчиевой" матрицы, называемой Qp-матрицей. Следует за нами!