Классическая "фибоначчиева" матрица

В последние десятилетия теория чисел Фибоначчи дополнилась теорией "Фибоначчиевой" Q-матрицы. Последняя представляет собой простейшую квадратную матрицу размером 2 ´ 2 следующего вида:

(1)

Заметим, что детерминант Q-матрицы равен -1.

В статье известного американского математика-фибоначчиста Гоулда (H.W. Gould) "A history of the Fibonacci Q-matrix and a higher-dimensional problem" (The Fibonacci Quarterly, 1981, 19), посвященной памяти Вернера Хоггата, создателя Фибоначчи Ассоциации, изложена история Q-матрицы, дана обширная библиографию по Q-матрице и связанным с ней вопросам и подчеркнут вклад Вернера Хоггата в разработку теории Q-матрицы. Хотя название "Q-матрица" было введено до Вернера Хоггата, однако только благодаря его публикациям идея Q-матрицы "caught on like wildfire among Fibonacci enthusiasts. Numerous papers have appeared in Fibonacci Quarterly authored by Hoggatt and/or his students and other collaborators where the Q-matrix method became a central tool in the analysis of Fibonacci properties".

Но какое отношение имеет Q-матрица к числам Фибоначчи? Чтобы отвечать на этот вопрос, необходимо возвести Q-матрицу в n-ю степень. Тогда мы получим:

(2)

где Fn-1, Fn, Fn+1 числа Фибоначчи.

Но мы знаем, что Det (An) = (Det A)n, откуда вытекает следующее свойство для детерминанта Q-матрицы:

Det Qn = (-1)n,(3)

где n - целое число.

Но если мы вычислим Det Qn, используя выражение (2), и затем используем (3), тогда мы получим следующее тождество, связывающее три соседних числа Фибоначчи:

(4)

Таким образом, это означает, что Q-матрица выражает одно из наиболее важных свойств чисел Фибоначчи, задаваемое (4)!

Теперь представим матрицу (2) в следующем виде:

(5)

или

Qn = Qn-1 + Qn-2.(6)

Запишем выражение (6) в следующем виде:

Qn-2 = Qn - Qn-1.(7)

Матрицы Qn (n = 0, ±1, ±2, ±3, ...), полученные с помощью рекуррентных формул (6), (7), задаются Табл. 1.

Таблица 1.

n01234567
Qn
Q -n

Заметим, что Табл. 1 задает "прямые" матрицы Qn и их "обратные" матрицы Q -n в явной форме. Сравнивая "прямые" и "обратные" фибоначчиевые матрицы Qn и Q -n задаваемые Табл. 1, легко увидеть, что существует очень простой метод получения "обратной" матрицы Q -n из ее "прямой" матрицы Qn. Действительно, если степень "прямой" матрицы Qn, задаваемой (2), является четным числом (n = 2k), тогда для получения "обратной" матрицы Q -n необходимо переставить местами в матрице (2) диагональные элементы Fn+1 и Fn-1 диагональные элементы Fn взять с противоположным знаком. Это означает, что для случая n = 2k "обратная" матрица Q -n имеет следующий вид:

(8)

Для случая n = 2k + 1 для получения "обратной" матрицы Q -n из "прямой" матрицы Qn необходимо переставить в (2) диагональные элементы Fn+1 and Fn-1 и взять их с противоположным знаком, то есть:

(9)

Другой метод получения матриц типа Qn вытекает непосредственно из выражения (2). Для этого необходимо представить две последовательности чисел Фибоначчи, сдвинутые на один столбец одна относительно другой (Табл. 2).

Таблица 1.

n76543210-1-2-3-4-5-6-7
Fn+1211385321101-12-35-8
Fn1385321101-12-35-8-13

Если мы выберем число n = 1 в первой строке Табл. 2, и затем четыре числа Фибоначчи в двух следующих строках под числами 1 и 0 первой строки, то мы можем увидеть, что множество из четыре чисел Фибоначчи образует Q-матрицу. Перемещаясь вдоль Табл. 2 влево относительно Q-матрицы, мы получим последовательно матрицы Q2, Q3, ..., Qn. Перемещаясь направо относительно Q-матрицы, мы получим последовательно матрицы Q0, Q -1, ..., Q -n. В качестве примера мы можем видеть в Табл. 2 матрицу Q5 и "обратную" к ней матрицу Q -5, которые выделены жирным шрифтом.

Таким образом, изучение Q-матрицы, действительно, является приятным времяпрепровождением, и можно понять энтузиазм Вернера Хоггата и других математиков-фибоначчистов, который четыре десятилетия назад начали изучать Q-матрицу! Но мы попытаемся ввести так называемые обобщенные "фибоначчиевые" матрицы, основанные на p-числах Фибоначчи, вытекающих из "Треугольника Паскаля". Но для этого мы должны вспомнить и развить некоторые интересные свойства p-чисел Фибоначчи. И мы сделаем это на следующей странице нашего Музея. Следуйте за нами!