Введение в теорию матриц

Определение матрицы. Под матрицей А мы будем понимать следующую прямоугольную таблицу чисел:

Матрица А состоит из m горизонтальных кортежей типа

(a11, a12, ..., a1n), (a21, a22, ..., a2n), ..., (am1, am2, ..., amn),

называемых строками матрицы A, и n вертикальных кортежей типа

называемых столбцами матрицы А. Заметим, что элемент aij, находится на пересечении i-й строки и j-го столбца. Мы часто обозначаем такую матрицу просто как A = (aij).

Матрица с m строками и n столбцами называется матрицей m на n и записывается m ´ n. Пара чисел m и n называется размером матрицы. Две матрицы А и B считаются равными, то есть А = B, если они имеют один и тот же размер и соответствующие элементы матриц равны.

Возможно выполнять сложение и умножение матриц.

Квадратная матрица. Матрица с одним и тем же числом строк и столбцов называется квадратной матрицей. Квадратная матрица с n строками и n столбцами считается матрицей порядка n. Главная диагональ или просто диагональ квадратной матрицы A = (aij) состоит из чисел:

(a11, a22, ..., ann).

Единичная матрица. Квадратная матрица порядка n, содержащая 1 в главной диагонали и 0 на всех остальных позициях, называется единичной матрицей и обозначается через I:

Единичная матрица играет ту же самую роль в матричном умножении как число 1 в традиционном умножении чисел, то есть:

AI = IA = A.

Квадратные матрицы можно возводить в степень. Мы сможем определить степени квадратной матрицы следующим образом:

A2 = AA, A3 = A2A, ..., A0 = I.

Обратная матрица. Квадратная матрица считается обратимой, если существует матрица B со следующим свойством:

AB = BA = I.

Такая матрица B является единственной; она называется инверсной матрицей и обозначается через A-1.

Детепрминанты. Каждой квадратной матрице A = (aij) порядка n мы приписываем некоторое специальное число, называемое детерминантом А, обозначаемом Det (A).

Детерминанты матриц первого, и второго порядка определяются следующим образом:

Det (a11) = |a11|= a11

Важное свойство детерминантов задается следующей теоремой.

Теорема. Для любых двух квадратных матриц А и B мы имеем:

Det (AB) = (Det A) ´ (Det B).

Из этой теоремы вытекает, что

Det (An) = (Det A)n.

После такого предварительного введения мы можем перейти к "фибоначчиевым" матрицам. Но мы начнем с простейшей "фибоначчиевой" матрицы, названной Q-матрицей. Следуйте за нами!