Зеркально-симметричный цифро-аналоговый преобразователь

"Золотой" резистивный делитель. На этой странице мы покажем приложение троичной зеркально-симметричной системы счисления для проектирования цифро-аналогового преобразователя (ЦАП). Известно, что цепные резистивные делители с "двоичным" отношением являются основой для проектирования классических "двоичных" ЦАП.

И сейчас мы покажем, как спроектировать "золотой" резистивный делитель с "золотым" отношением типа Такой резистивный делитель показан на Рис. 1-a.

'Золотой' резистивный делитель
Рисунок 1. "Золотой" резистивный делитель с коэффициентом передачи t2.

"Золотой" резистивный делитель на Рис. 1-a состоит из "горизонтальных" и "вертикальных" резисторов двух номиналов R и tR, где t - "золотая пропорция". Соединительные точки A, B, C, D, E связывают резисторы делителя. На Рис. 1-а показан 5-разрядный делитель с соединительными точками A, B, C, D, E. Соединительная точка соединения C соответствует 0-му разряду. Эквивалентные электрические цепи делителя показаны на Рис. 1-b, c, d. Левые и правые концевые части делителя относительно соединительных точек A, B и D, E имеют вид на Рис. 1-b. Вычислим эквивалентное сопротивление параллельного соединения резисторов R and tR на Рис. 1-b:

(1)

Эквивалентное сопротивление цепи на Рис.1-b относительно точки D равно:

R + t -1R = tR.(2)

Если мы возьмем в резистивном делителе на Рис. 1-a некоторый произвольный "горизонтальный" резистор R с соединительными точками А (левая соединительная точка) и B (правая соединительная точка), тогда очень просто можно показать, что согласно (1), эквивалентное сопротивление левой и правой частей делителя относительно соединительных точек А и B равно t -1R.

Тогда мы можем представлять эквивалентную схему делителя для некоторого произвольного "горизонтального" резистора R, как показано на Рис. 1-c. Последнее позволяет вычислить коэффициент передачи по напряжению от соединительной точки А к соединительной точке B:

(3)

Рассмотрим некоторую произвольную точку C резистивного делителя на Рис. 1-a. Тогда, используя (2), просто показать, что эквивалентное сопротивление цепочки делителя слева и справа относительно произвольной точки C равно tR. Тогда эквивалентная схема делителя относительно точки C может быть представлена в виде на Рис. 1-d. Используя эквивалентную схему на Рис. 1-d, просто вычислить эквивалентное сопротивление схемы в Рис. 1-d как параллельное соединение из трех резисторов tR, R, and tR:

(4)
    Таким образом, исследование делителя на Рис. 1-a позволяет сформулировать следующие электрические свойства делителя:
  1. Коэффициент передачи по напряжению между любыми соседними соединительными точками делителя (подобно точкам А и B) обратно пропорционален квадрату золотой пропорции сечения t2;
  2. Эквивалентное сопротивление делителя в произвольной соединительной точке C постоянно и равно ½R.

Заметим, что свойство (1) является большой неожиданностью! Действительно, невозможно представить, что простейшая электрическая схема на рисунке. 1-а содержит в себе квадрат золотой пропорции! Но этот факт еще раз подчеркивает фундаментальный характер золотой пропорции, которая неожиданно проявляется и в электрических цепях!

"Золотой" зеркально-симметричный цифро-аналоговый преобразователь. "Золотой" резистивный делитель на Рис. 1 может быть использован для проектирования "золотого" зеркально-симметричного ЦАП на Рис.2. Последний состоит из 5 (в общем случае из n) разрядов. Средняя соединительная точка C соответствует 0-му разряду a0 входного "золотого" зеркально-симметричного кода a2 a1 a0, a-1 a-2 (am am-1 ... a0, a-1 a-2 ... a-m в общем случае) числа N. Троичные разряды ai (i = 0, ±1, ±2, ..., ±m) управляют специальной схемой I0 , связанный с соответствующими соединительными точками "золотого" зеркально-симметричного делителя. Специальная схема I0 состоит из эталонного генератора тока I0 и электрических трехпозиционных ключей, которые управляются троичными цифрами согласно следующему правилу.

Если ai = 1, то эталонный электрический ток I0 подключается к соответствующей точке "золотого" зеркально-симметричного резистивного делителя в "позитиве", то есть +I0. Если ai = -1, то эталонный электрический ток подключается к соответствующей точке "золотого" зеркально-симметричного резистивного делителя в "негативе", то есть -I0. Наконец, если ai = 0, то эталонный электрический ток I0 не подключается к соответствующей соединительной точке.

'Золотой' зеркально-симметричный ЦАП
Рисунок 2. "Золотой" зеркально-симметричный ЦАП.

"Золотой" зеркально-симметрический ЦАП имеет два зеркально - симметрических выхода, U1 и U2. Принимая во внимание основные свойства (1) - (4) "золотого" зеркально-симметричного делителя, можно показывать, что зеркально-симметричные выходы U1 и U2 выражаются в зависимости от входного "золотого" зеркально-симметричного кода am am-1 ... a0, a-1 a-2 ... a-m, в следующей форме:

(5)

Рассмотрим еще раз "золотой" зеркально-симметричный ЦАП на Рис. 2. Фундаментальное контрольное свойство такого ЦАП выражается в следующем равенстве:

U1 = U2.(6)

Это равенство подтверждает правильность функционирования "золотого" зеркально-симметричного ЦАП. Нарушение равенства (6) является сигналом ошибки в ЦАП. Таким образом, "золотой" зеркально-симметричный ЦАП на Рис. 2 является самоконтролирующимся ЦАП, позволяющим реализовать непрерывный контроль функционирования ЦАП согласно (6).

Таким образом, мы сделали еще одно небольшое открытие в области ЦАП. Мы показали, что, используя троичное зеркально-симметричное представление, мы можем спроектировать весьма необычный ЦАП, позволяющий непрерывно контролировать ошибки в ЦАП!