Троичное зеркально-симметричное сложение и вычитание

В основе зеркально-симметричного сложения лежат следующие тождества для степеней золотой пропорции:

2t2k = t2(k+1) - t2k + t2(k-1);(1)
3t2k = t2(k+1) + 0 + t2(k-1);(2)
4t2k = t2(k+1) + t2k + t2(k-1),(3)

где k = 0,  1,  2,  3, ... .

Докажем тождество (1). Действительно, мы можем сделать следующие преобразования над правой частью тождества (1):

t2(k+1) - t2k + t2(k-1) = t2k+1 + t2k - t2k + t2(k-1) = t2k + t2k-1 + t2k-2 = t2k + t2k = 2t2k.

Тождество (1) доказано.

Тождества (2) и (3) вытекают из (1).

Тождество (1) является математическим базисом для зеркально - симметрического сложения двух одноразрядных троичных цифр и дает правило формирования переноса (Табл. 1).

Таблица 1.

`101
`1`1 1`1`10
 0`1 01
 1 0 1`1 1`1

Главной особенностью Табл.1 является правило сложения двух единиц с одинаковыми знаками, то есть:

Мы можем видеть, что при зеркально-симметричном сложении троичных единиц одного знака возникает промежуточная сумма sk, равная единице противоположного знака и перенос ck, равный единице того же знака. Однако перенос из k-го разряда распространяется одновременно в два соседние разряды, а именно в соседний слева, то есть в (k + 1)-й разряд, и соседний справа, то есть в (k - 1)-й разряд.

Таблица 1 описывает функционирование простейшего троичного сумматора, называемого одноразрядным полусумматором. Последний представляет собой комбинационную логическую схему, имеющую два троичных входа ak и bk и два троичных вывода sk и ck и функционирующую в соответствии с Табл.1 (Рис. 1-a).

Зеркально-симметричные одноразрядные сумматоры
Рисунок 1. Зеркально-симметричные одноразрядные сумматоры:
(a) полусумматор; (b) полный сумматор.

Так как перенос из k-го разряда распространяется в сторону левого и правого разрядов, то это означает, что полный зеркально - симметрический одноразрядный сумматор должен иметь два входа для переносов, поступающих из (k - 1)-го и (k + 1)-го разрядов в k-й разряд. Таким образом, полный зеркально-симметричный одноразрядный сумматор представляет собой комбинационную логическую схему, имеющую четыре троичных входа и два троичных выхода (Рис. 1-b). Обозначим через 2å зеркально-симметричный одноразрядный полусумматор с двумя входами и через 4å зеркально-симметричный одноразрядный полный сумматор с четырьмя входами.

Опишем логическое действие зеркально-симметричного полного одноразрядного сумматора 4å. Заметим прежде всего, что число всех возможных 4-разрядных троичных входных комбинаций зеркально-симметрического полного сумматора равно 34 = 81. Значения выходных переменных sk и ck являются некоторыми дискретными функциями алгебраической суммы S входных троичных переменных ak, bk, ck-1, ck+1, то есть:

S = ak + bk + ck-1 + ck+1.(4)

Сумма (4) принимает значения из множества: {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}. Правило функционирования зеркально-симметрического полного сумматора 4å состоит в следующем. Сумматор формирует выходную троичную кодовую комбинацию cksk в соответствии с значением суммы (4), то есть:

-4 = `1`1; -3 =`1 0; -2 =`1 1; -1 = 0`1; 0 = 0 0; 1 = 0 1; 2 = 1`1; 3 = 1 0; 4 = 1 1.

Младшая цифра такого 2-разрядного троичного представления представляет собой значение промежуточной суммы sk, а старшая цифра - значение переноса ck, который распространяется в соседние разряды (справа и слева от k-го разряда).

Многоразрядный комбинационный зеркально-симметричный сумматор, реализующий сложение двух (2m + 1)-разрядных зеркально-симметричных числа представляет собой комбинационную логическую схему, состоящую из (2m + 1) троичных зеркально- симметричных полных одноразрядных сумматоров типа 4å (Рис. 2).

Многоразрядный троичный зеркально-симметричный сумматор
Рисунок 2. Многоразрядный троичный зеркально-симметричный сумматор.

В качестве примера рассмотрим сложение двух чисел 5 + 10 в троичной зеркально - симметриченой системе счисления:

Заметим, что знак « обозначает процесс распространения переноса.

Важно подчеркнуть, что результат сложения (число 15) представлен в "зеркально - симметричной форме"!

Как было отмечено выше, важное преимущество троичной зеркально- симметричной системы счисления состоит в возможности суммирования всех целых чисел (положительных и отрицательных) в "прямом" коде, то есть без использования понятий инверсного и дополнительного кодов. В качестве примера рассмотрим сложение отрицательного числа (-24) с положительным числом 15:

Важно подчеркнуть, что результат сложения (число -9) представлен в "зеркально-симметричной форме"!

А как относительно вычитания? Вычитание двух зеркально-симметричных чисел N1 - N2 сводится к зеркально-симметричному сложению, если мы представим их разность в следующей форме:

N1 - N2 = N1 + (-N2).(5)

Как следует из (5), перед вычитанием необходимо взять троичную инверсию от числа N2 и затем выполнить зеркально-симметричное сложение.

Обсудим полученный выше результат. Мы обнаружили весьма необычный метод сложения-вычитания чисел. Во-первых, эти арифметические операции выполняются в "прямом" коде! И нам нет необходимости сравнивать числа перед вычитанием! И мы можем забыть о существовании инверсного и дополнительного кодов для представления отрицательных чисел! Во-вторых, эти арифметические операции контролируются согласно свойству зеркальной симметрии! Это означает, что свойство зеркальной симметрии инвариантно относительно сложения и вычитания. Однако мы еще не знаем: является ли свойство зеркальной симметрии инвариантом относительно умножения и деления? Мы узнаем об этом на следующей странице нашего Музея. Следуйте за нами!