Троичное зеркально-симметричное представление

Правило перевода из "Тау-системы" в троичное представление. Рассмотрим представление натурального числа N в "Тау-системе":

(1)

Сокращенная позиционная запись (1) имеет следующий вид:

N = anan-1 ... a1a0,a-1a-2 ... a-m.(2)

Мы будем использовать так называемую "минимальная" форму представления (2). Это означает это, каждый бит ak = 1 в "золотом" представлении (2) всегда "окружен" двумя соседними двоичными 0, то есть ak-1 = ak+1 = 0.

Рассмотрим теперь следующее тождество, связывающее степени золотой пропорции:

tk = tk+1 - tk-1.(3)

Выражение (3) имеет следующую кодовую интерпретацию:

(4)

где `1 - отрицательная единица, то есть `1 = - 1. Из (4) вытекает, что положительная двоичная 1 k-го разряда преобразуется в две единицы, положительную единицу 1 (k + 1)-го разряда и негативную единицу `1 (k - 1)-го разряда.

Кодовое преобразование (4) может быть использовано для перевода "минимальной" формы (2) в троичное "золотое" представление".

Рассмотрим "золотое" представление числа 5:

(5)

Заметим, что представление (5) является позиционной записью следующей суммы:

Преобразуем "минимальную" форму (5) в троичное "золотое" представление. Чтобы это сделать, мы применим кодовое преобразование (4) одновременно ко всем нечетным разрядам (k= 2m + 1), значения которых равны 1. Мы можем видеть, что в представлении (5) кодовое преобразование (4) можно применить только к 3-му и (-1)-му разрядам, значения которых равны 1. В результате такого преобразования представления (5) мы получаем троичное "золотое" представление числа 5:

(6)

Мы можем видеть из (6), что все разряды, имеющие четные индексы, тождественно равны 0, а разряды с нечетными индексами принимают троичные значения из множества {`1, 0, 1}. Это означает, что все разряды с четными индексами в представлении (6) являются "неинформативными", потому что их значения тождественно равны 0. Если исключить в (6) всех "неинформативные" разряды, мы получаем следующее троичное "золотое" представление исходного числа N:

(7)

где b2i - троичная цифра (2i)-го разряда.

Введем следующую перенумерацию разрядов троичного "золотого" представления (7). Каждая троичная цифра b2i заменяется троичной цифрой ci. В результате такой перенумерации мы получаем выражение (7) в следующей форме:

(8)

где ci - троичная цифра i-го разряда; t2i - вес i-го разряда; t2 - основание системы счисления (8). С учетом выражения (8) троичное "золотое" представление (6) принимает следующий вид:

(9)

Позиционное представление (9) имеет следующую числовую интерпретацию:

Представление отрицательных чисел. Подобно троичной симметрической системе счисления важное преимущество системы счисления (8) заключается в возможности представления как положительных, так и отрицательные чисел в "прямом" коде. Код отрицательного числа (-N) получается из троичного "золотого" представления исходного числа N посредством применения правила "троичной инверсии":

1 ® `1, 0 ® 0, `1 ® 1.(10)

Применяя это правило к троичному "золотому" представлению (9), мы получим троичное "золотое" представление отрицательного числа (-5):

Свойство зеркальной симметрии. Рассматривая троичное "золотое" представление (9), мы можем видеть, что левая часть (1`1) представления (9) является зеркально-симметричной к его правой части (`1 1) относительно 0-го разряда. Доказано, что это свойство "зеркальной симметрии" является фундаментальным свойством целых чисел, возникающим при их представлении в троичной "золотой" системе (8). Табл. 1 демонстрирует это свойство на примере некоторых натуральных чисел.

i3210-1-2-3
t6t4t2t0t -2t -4t -6
000 0 0. 000
100 0 1. 000
200 1`1. 100
300 1 0. 100
400 1 1. 100
501`1 1.`110
601 0`1. 010
701 0 0. 010
801 0 1. 010
901 1`1. 110
1001 1 0. 110

Итак, благодаря этому простому исследованию мы обнаружили еще одно фундаментальное свойство целых чисел, свойство "зеркальной симметрии", которое возникает при их представлении в троичной "золотой" системе (8). Именно поэтому троичная "золотая" система (8) названа "Троичной зеркально-симметричной системой счисления".

Основание троичной зеркально - симметричной системы счисления. Из (8) вытекает, что основанием троичного "золотого" представления (8) является квадрат золотой пропорции:

Это означает, что система счисления (8) является системой счисления с иррациональным основанием.

Основание системы счисления (8) имеет следующее традиционное представление:

t2 = 10.

Теперь обсудим полученный выше результат. Мы обнаружили весьма необычную систему счисления. Прежде всего эта система счисления является троичной симметричной системой счисления, использующей троичные цифры {1, 0 и -1}. Во-вторых, она имеет необычное основание, квадрат золотой пропорции. Но наиболее неожиданным результатом является свойство зеркальной симметрии, возникающее при представлении целых чисел.

Какое практическое значение имеет обнаруженное выше свойство? Ясно, что это свойство является фундаментальной отличительной особенностью только целых чисел (положительных и отрицательных) и мы можем использовать свойство зеркальной симметрии в компьютерах, если мы будем представлять целые числа в троичной "золотой" системе (8). Но наиболее неожиданный результат состоит в том, что это свойство может быть использовано в компьютерах для контроля арифметических операций. Мы расскажем об этом на следующих страницах нашего Музея. Следуйте за нами!