"Золотая" система счисления Бергмана

На заре компьютерной эры было сделано выдающееся открытие в теории систем счисления. Оно было направлено на преодоление второго существенного недостатка классической двоичной системы, проблемы "нулевой" избыточности. В 1957 американский математик Джордж Бергман ввел позиционную систему счисления следующего вида:

(1)

где A - некоторое действительное число и ai - двоичная цифра i-го разряда (i = 0, ±1, ±2, ±3); ti - вес i-го разряда; t - основание системы счисления (1).

На первый взгляд, не существует никакой особенности в выражении (1) по сравнению с известными позиционными системами счисления, но это только на первый взгляд. Главная особенность состоит в том, что Бергман использовал иррациональное число ("золотая пропорция") в качестве основания своей системы счисления (1). Поэтому Бергман назвал эту систему счисления "системой счисления с иррациональным основанием" или "Тау-системой". Хотя "Тау-система" представляла собой результат принципиальной важности не только для систем счисления, но и для теории чисел, но в тот период она просто не была замечена ни математиками, ни инженерами. И свое математическое открытие Бергман оценил весьма скромно:

"Я не знаю никакого полезного приложения для систем счисления, подобных этой, как умственных упражнений и приятного времяпровождения, хотя эта система счисления может быть полезной для алгебраической теории чисел".

Однако развитие компьютерной и измерительной техники опровергло пессимистическое мнение Бергмана относительно практического приложения его системы счисления. В отличие от классической двоичной системы система счисления Бергмана обладает "естественной" избыточностью, которая может быть эффективно использована для контроля компьютеров. В 70-е и 80-е годы 20-го столетия в бывшем Советском Союзе были выполнены научные и инженерные разработки, основанные на системе счисления Бергмана. Эти разработки показали исключительную эффективность системы счисления Бергмана для проектирования самокорректирующихся аналого-цифровых преобразователей и помехоустойчивых процессоров. На предшествующих страницах нашего Музея мы рассмотрели так называемое Z-свойство натуральных чисел, которые возникает при их представлении в системе счисления Бергмана. Это свойство и другие свойства "Тау-системы" ("минимальная" и "максимальная" формы представления и т.д.) могут быть использованы для контроля компьютерной информации на всех уровнях организации компьютера.

Возникает вопрос: можно было проектировать новую систему счисления, объединяющую преимущества системы счисления Бергмана с преимуществами троичной симметричной системой счисления? Именно этот вопрос стал главной темой исследований профессора Стахова в период его работы в Ливийском университете Аль Фатех. И мы расскажем на следующих страницах нашего Музея, что из этого получилось. Следуйте за нами!