"Троичный принцип" Николая Брусенцова

Как неисповедимы пути научно-технического прогресса! Мог ли итальянский математик Леонардо Пизано Фибоначчи предполагать, что его "задача о гирях", о которой мы уже рассказывали на одной из страниц нашего Музея, приведет к математическому открытию, которое будет положено в основу одного из оригинальных компьютерных проектов, выполненных на заре компьютерной эры?

Речь идет о троичной симметричной системе счисления, которая была использована российским инженером Николаем Брусенцовым в проекте компьютера "Сетунь", созданного под его руководством в Московском университете в 50-е годы.

Леонардо Пизано Фибоначчи (1170-1228)Николай Брусенцов (род. в 1925 г.)
Леонардо Пизано Фибоначчи (1170-1228)Николай Брусенцов (род. в 1925 г.)

Однако вспомним еще раз формулировку "задачи о гирях", предложенной Фибоначчи:

"Требуется найти систему из четырех гирь, таких, чтобы, используя их по одной, можно было взвешивать любой целый груз Q в диапазоне от 1 до 40 кг. При этом гири могут быть помещены на обе чаши весов. Первая чаша содержит взвешиваемый груз Q, вторая чаша свободна от груза".

Решение задачи хорошо известно и состоит в выборе следующей системы гирь: {1, 3, 9, 27}. Взвешивание груза Q = 1 Кг осуществляется путем использования первой гири весом в 1 Кг, которая располагается на "свободной" чаше весов. Тогда результат взвешивания записывается следующим образом:

Взвешивание груза Q = 2 Кг выполняется с помощью двух гирь в 1 Кг и 3 Кг. При этом гиря в 3 Кг кладется на "свободную" чашу весов, а гиря в 1 Кг - на противоположную. Результат взвешивания записывается в следующем виде:

Отрицательная единица `1 = - 1, которая возникает в этой сокращенной записи числа, означает, что гиря в 1 Кг располагается на чаше с грузом и ее вес вычитается из веса гири в 3 Кг, которая находится на "свободной" чаше весов.

Результаты взвешивания грузов Q = 3 Кг и Q = 4 Кг записываются так:

но результат взвешивания груза Q = 5 Кг представляется в следующей форме:

Последняя запись означает, что гиря в 9 Кг располагается на "свободной" чаше весов, а гири в 3 Кг и 1 Кг располагаются на чаше с грузом.

Из рассмотренных выше сокращенных записей чисел вытекает новая интерпретация понятия "цифра". Положительная единица в позиционной записи числа означает, что соответствующая гиря находится на "свободной" чаше весов, негативная единица `1 означает, что соответствующая гиря находится на чаше с грузом и цифра 0 в позиционной записи чисел означает, что соответствующая гиря не участвует во взвешивании.

Следовательно, позиционная запись имеет следующую алгебраическую интерпретацию:

Приведем некоторые другие примеры:

Из рассмотренных выше позиционных записей чисел вытекает, что результат некоторого взвешивания выражается позиционной записью в троичной системе счисления с использованием цифр: 1 (положительная единица), 0 (нуль) и `1 (негативная единица).

    Так называемый "Троичный Принцип Брусенцова" был реализован в компьютере "Сетунь", разработанном в 50-е годы в Московском университете под руководством талантливого инженера Николая Брусенцова. В основе "Троичного Принципа" положены три идеи:
  • Троичная логика,
  • Троичная симметричная система счисления,
  • Троичный элемент памяти (троичный триггер).

Ключевой идеей "Троичного Принципа Брусенцова" является "троичная симметричная система счисления", представляющая собой следующий позиционный метод представления чисел:

(1)

где bi (i = 1, 2, ..., n) - троичная цифра {`1 = -1, 0 и 1} i-го разряда; 3i-1 - вес i-го разряда; число 3 - основание системы счисления.

Основное преимущество системы счисления (1) на сравнении с классической двоичной системой счисления с цифрами 0 и 1 состоит в изящном решении "проблема знака". Знак числа определяется старшей значащей цифрой троичного представления. Например, число N1 = 0`1 1 1 0`1 является отрицательным, а число N2 = 1`1 0`1 0 0 1 является положительным. Как положительные, так и отрицательные числа представляются в "прямом" коде, и все арифметические действия выполняются в "прямом" коде. Очень просто получить представление отрицательного числа (-N) из троичного представления положительного числа N, используя правила "троичной инверсии":

1 ® `1, 0 ® 0, `1 ® 1.(2)

Троичное симметрическое сложение и умножение основываются на тривиальных тождествах, связывающих степени числа 3: 3i + 3i = 3i+1 - 3i (для сложения) и 3m ´ 3n = 3m+n (для умножения). Троичное симметричное вычитание чисел А - B сводится к сложению чисел А + (-B), если к вычитаемому B применить правило троичной инверсии (2). Троичное симметричное деление подобно классическому двоичному делению и сводится к сдвигу делителя и его вычитанию из делимого.

Компьютер "Сетунь" был разработан на магнитных элементах, и поэтому не получил широкого практического использования, но его архитектура, основанная на "Троичном Принципе", оказалась настолько совершенной, что в настоящее время проект этого компьютера привлекает внимание многих компьютерных специалистов.

Известный советский компьютерный специалист профессор Поспелов написал:

"Барьеры, стоящие на пути приложения троичной симметричной систем счисления в компьютерах, являются препятствиями технического порядка. До сих пор не разработаны экономичные и эффективные элементы с тремя устойчивыми состояниями. Как только такие элементы будут разработаны, большая часть компьютеров универсального типа и многие специальные компьютеры по всей вероятности будут разработана таким образом, чтобы они функционировали в троичной симметрической системе счисления".

Также известный американский ученый Дональд Кнут выражал мнение, что замена двоичного триггера ("flip-flop") на троичный триггер ("flip-flap-flop") в один прекрасный день обязательно произойдет.

Однако, троичная симметричная система счисления также обладает "нулевой избыточностью" - и в этом отношении она не имеет преимуществ по сравнению с классической двоичной системой счисления.

Для решения проблемы контроля процессов, протекающих в компьютере, нужны были новые решения в области теории систем счисления. И в 50-е годы 20-го столетия такие решения появились. Но об этом мы расскажем на следующей страничке нашего Музея. Следуйте за нами!