"Золотая" арифметика

А теперь попытаемся разработать "золотую" арифметику. Для этого вспомним систему счисления с иррациональным основанием (систему счисления Бергмана):

(1)

где ai - двоичная цифра i-го разряда в представлении (1); ti - вес i-го разряда в представлении (1); (золотая пропорция) - основание системы счисления (1).

"Золотое" сложение и вычитание. Существует следующее фундаментальное тождество, связывающее степени "золотой пропорции":

ti = ti-1 + ti-2(2)

Заметим, что выражение (2), связывающее веса разрядов в "золотом" представлении (1) похоже на рекуррентное соотношение Фибоначчи. Это означает, что правило "золотого" сложения и вычитания совпадают с правилами "фибоначчиевого" сложения и вычитания.

"Золотое" умножение. Однако степени "золотой пропорции" обладают следующим свойством, которое является важным для "золотого" умножения и деления:

tn ´ tm = tn+m.

Отсюда вытекает, что "золотое" умножение реализуется согласно следующей таблице.

Таблица 1.
0´0=0
0´1=0
1´0=0
1´1=1
    Мы видим, что таблица "золотого" умножения совпадает с таблицей классического "двоичного" умножения. Это означает, что "золотое" умножение сводится к классическому "двоичному" умножению, то есть к выполнению следующих правил:
  1. Сформировать частные произведения согласно Табл. 1.
  2. Сложить частные произведения по правилам "золотого" сложения, которые совпадают с правилами "фибоначчиевого" сложения.

Продемонстрируем "золотое" умножение с использованием следующего примера. Умножим "золотые" представления чисел A = 0, 0 1 0 0 1 0 и B = 0, 0 0 1 0 1 0.

Решение:

  1. Представим "золотые" представления A = 0, 0 1 0 0 1 0 и B = 0, 0 0 1 0 1 0 в форме с "плавающей запятой":
    A = 0 1 0 0 1 0 ´ t -6
    B = 0 0 1 0 1 0 ´ t -6
  2. Выполним "золотое" умножение мантисс чисел A и B:

  3. Приведем произведение к "минимальной" форме:

    0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

Результат "золотого" умножения:

A ´ B = 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 ´ t -12

"Золотое" деление. Как известно, классическое "двоичное" деление сводится к простейшим арифметическим операциям, то есть к сравнению чисел и вычитанию. Можно показать, что эти же операции лежат в основе "золотого" деления. Так как сравнение чисел реализуется над "золотыми" числами, представленными в "минимальной" форме, то отсюда вытекает следующая особенность "золотого" деления: промежуточные результаты приводятся к "минимальной" форме на каждом этапе "золотого" деления.

Таким образом, "золотая" арифметика, то есть арифметика над "золотыми" представлениями (1), является своеобразным синтезом "фибоначчиевой" арифметики и классической двоичной арифметики. С "фибоначчиевой" арифметикой она совпадает по сложению и вычитанию, а с классической двоичной арифметикой - по умножению и делению. Последнее обстоятельство является важным "техническим" преимуществом "золотой" арифметики по сравнению с "фибоначчиевой" арифметикой.