Концепция Математики Гармонии

Человечество давно осознало, что оно является участником и свидетелем огромного количества различных "миров", окружающих человека. В каждом из них действуют свои законы. Прежде всего - это "механический" мир и мир "астрономических явлений", в которых действуют "законы тяготения Ньютона", мир "электромагнитных" явлений, в котором действуют "уравнения Максвелла", мир "живой природы", мир "информации", мир "бизнеса", "социальный" мир, мир "искусства и т.д.

Человеческая наука в процессе своего развития создавала соответствующие математические теории, адаптированные к моделированию процессов того или иного "мира" - и таким путем математика удовлетворяла "социальный заказ". Наиболее ярким примером в этом отношении является "интегральное и дифференциальное исчисление", которое было создано для описания законов движения и законов тяготения механических объектов. И не случайно, что именно Ньютон считается создателем "законов тяготения", но и нового математического аппарата - "интегрального и дифференциального исчисления".

Мы описали в нашем Музее большое количество примеров систем и явлений, где решающую роль играют числа Фибоначчи и золотое сечение. Наиболее ярким примером в этом отношении является ботаническое явление филлотаксиса. И тогда возникает вопрос: возможно, существует некоторый "фибоначчевый мир", подчиняющийся числам Фибоначчи и золотому сучению? Скорее всего, мир растений, животных да и самого человека является "фибоначчиевым". Как показал недавно украинский архитектор Олег Боднар, геометрия живой природы является гиперболической, причем процессы формообразования в живой природе подчиняются законам гиперболических функций Фибоначчи и Люка (об этом мы еще будем рассказывать более детально). Но, возможно, что и мир бизнеса является "фибоначчиевым"? Это подтверждается весьма необычными исследованиями американского ученого Эллиотта ("Волны Эллиотта").

И подобно тому, как исследование "проблемы движения" привело к созданию важнейшего математического аппарата современной математики - дифференциального и интегрального исчисления, а исследование электромагнитных явлений к созданию электромагнитной теории Максвелла, современные научные открытия, основанные на числах Фибоначчи и золотом сечении, требуют развития нового математического аппарата, адекватного "фибоначчиевому" миру.

Мы показали на странницах нашего Музея, что "теория чисел Фибоначчи" дополнилась недавно новыми математическим результатами, к которым относятся: обобщенные числа Фибоначчи, вытекающие из Треугольника Паскаля, обобщенные золотые сечения, гиперболические функции Фибоначчи и Люка, являющиеся расширением формул Бине на непрерывную область, и многое другое. Особую роль в "фибоначчиевом" направлении играют: алгоритмическая теория измерения, являющаяся обобщением задачи Фибоначчи "о взвешивании", а также система счисления Бергмана и ее обобщение - коды золотой пропорции, которые по существу представляют собой новое определение понятия числа.

Все эти новые математические результаты, полученные в развитие "фибоначчиевого" направления расширяют предмет "теории чисел Фибоначчи" и требуют систематизации всех "фибоначчиевых" теорий в рамках некоторой общей концепции. И такая попытка систематизации современных "фибоначчиевых" теорий была сделана проф. Стаховым в его лекции "The Golden Section and Modern Harmony Mathematics", прочитанной на на 7-й Международной конференции по числам Фибоначчи и их приложениям (Австрия, Грац, июль 1996 г.).

Труды Фибоначчи-конференции 'Applications of Fibonacci Numbers' (Volume 7)Лекция А.П.Стахова 'The Golden Section and Modern Harmony Mathematics'

В основу этого подхода был положен анализ фундаментальных идей, которые были положены в основу классической математики. Мы будем использовать следующее определение математики, данное выдающимся русским математиком академиком Колмогоровым:

"Математика - это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира".

Андрей Николаевич Колмогоров (1903)
Андрей Николаевич Колмогоров (1903)

Из этого определения вытекает, что именно понятия "числа" и "величины" являются теми фундаментальными понятиями, на которых основывается математика. И в развитие такого подхода можно выделить три важнейшие математические понятия, которые исторически были положены в основу математики:

  1. Понятие натурального числа, которое возникло из "проблемы счета" и привело к созданию "теории чисел".
  2. Понятие иррационального числа, которое возникло в процессе изучения понятия "величины" и является следствием развития "математической теории измерения".
  3. Третьим важнейшим математическим понятием является понятие "фундаментальных математических констант", которые выражают наиболее характерные количественные отношения объективного мира и "порождают" важнейшие классы математических функций - "Элементарные Функции", с помощью которых осуществляется моделирование количественных закономерностей объективного мира.

Анализ этих фундаментальных идей позволяет выдвинуть по аналогии три фундаментальные идеи, которые могут быть положены в основу "Фибоначчиевой Математики" или "Математики Гармонии":

  1. Первая идея есть новая теория измерения, называемая "алгоритмической теорией измерения". Ее основы изложены в книге проф. Стахова "Введение в алгоритмическую теорию измерения" (1977) и брошюре "Алгоритмическая теория измерения" (1979).
Книга А.П.Стахова 'Введение в алгоритмическую теорию измерения' 1977г.Брошюра А.П.Стахова 'Алгоритмическая теория измерения' 1979г.

Позже проф. Стахов опубликовал статью "The Golden Section in the Measurement Theory" в весьма престижном международном журнале "Computers & Mathematics with Applications" (Volume 17, No 4-6). Статья посвящена изложению "алгоритмической теории измерения" как нового направления в математической теории измерения.

Международный журнал 'Computers & Mathematics with Applications'Статья проф. Стахова 'The Golden Section in the Measurement Theory'
  1. Вторая идея состоит в следующем. Предлагается к числам p и e, как главным математическим константам "классической математики" добавить "золотую пропорцию", как новую математическую константу "Математики Гармонии", и вместе с золотой пропорцией добавить к "элементарным функциям" новый класс функций, гиперболические функции Фибоначчи и Люка.
  2. Следующая идея состоит в новом геометрическом определении числа, основанном на понятии "золотых р-пропорций". Такое определение обобщает классическое Евклидово определение числа и "порождает" новые позиционные системы счисления - системы счисления с иррациональными основаниями.

Таблица 1 проводит параллель между между основаниями "Классической Математики" и "Математики Гармонии".

Таблица 1.

Основания "Классической Математики"Основания "Фибоначчиевой Математики" или "Математики Гармонии"
Евклидово определение числа; натуральные числа; классическая теория чиселНовое определение числа, основанное на обобщенных золотых сечениях; обобщенные числа Фибоначчи; теория чисел Фибоначчи
Классическая теория измерения; иррациональные числа Алгоритмическая теория измерения; новые числовые последовательности, вытекающие их алгоритмической теории измерения
Классические математические константы, числа p и e; классические элементарные функции Золотое сечение; обобщенные золотые сечения; гиперболические функции Фибоначчи и Люка

Как вытекает из этого сравнительного анализа, основания "Математики Гармонии" подобны основаниям "Классической Математики", но мы используем "новое определение числа, основанное на обобщенных золотых сечениях" вместо "Евклидового определения числа", мы используем "алгоритмическую теорию измерения" вместо "классической теории измерения" и наконец, мы используем "золотое сечение и гиперболические функции Фибоначчи и Люка" вместо "фундаментальных математических констант, чисел p и e и классических элементарных функций".

Алгоритмическая теория измерения, восходящая к "фибоначчиевой задаче о взвешивании", является основой Математики Гармонии (Рис. 1).

Алгоритмическая теория измерения генерирует бесконечное число новых числовых последовательностей, в частности, p-числа Фибоначчи, биномиальные коэффициенты, последовательности двоичных и натуральных чисел. Эти числовые последовательности приводят к расширению теории чисел Фибоначчи.

Алгоритмическая теория измерения приводит к развитию позиционных систем счисления, восходящим к Вавилонской шестидесятеричной системе счисления. Благодаря такому подходу этот "старейший" раздел теории чисел превращается в оригинальную математическую теорию, являющуюся дополнением к классической теоретической арифметике.

Формулы Бине генерируют новый класс элементарных функций, гиперболические функции Фибоначчи и Люка. Эти функции являются ничем иным, как обобщением формул Бине на "непрерывную" область. Благодаря этим функциям теория чисел Фибоначчи превращается в "непрерывную" теорию, потому что каждое математическое соотношение для функций Фибоначчи и Люка имеет дискретный аналог, соответствующий некоторому "дискретному" соотношению для чисел Фибоначчи и Люка.

Гиперболические функции Фибоначчи и Люка являются основой для новой геометрии филлотаксиса (геометрии Боднара), который является блестящим подтверждением эффективности гиперболических функций Фибоначчи и Люка для моделирования биологических процессов.

Из этих рассуждений вытекает, по крайней мере, два важных современных приложения чисел Фибоначчи и золотого сечения:

  1. Моделирование биологических процессов (геометрия Боднара).
  2. Новая теория компьютеров (Фибоначчи-компьютеры и "золотые" компьютеры).

Как известно, классический математический анализ, основанный на числах p и e, был создан как математическая теория для моделирования механических процессов ("Ньютоновская теория гравитации"). Из сравнения классического математического анализа с Математикой Гармонии вытекает, что "Математика Гармонии", основанная на золотом сечении, является интересным дополнением к классическому математическому анализу, его расширением для моделирования биологических и информационных процессов. Благодаря этому подходу золотое сечение наряду с числами p и e должно занять достойное место в основаниях математики.

Приложения золотого сечения в искусстве широко известны. "Математика Гармонии" порождает новые геометрические пропорции (золотые p-пропорции), которые могут быть использованы в произведениях искусства. Можно высказать предположение, что развитие "Математики Гармонии" будет влиять на прогресс современного искусства.

Интерес к числам Фибоначчи и золотому сечению и проблемам гармонии систем, возникший в современной науке, является подтверждением "естественного" хода развития современной науки, которая приближается к раскрытию законов гармонии, созданию новой научной картины мира, основанной на идеях гармонии, симметрии и золотого сечения. Это приведет к восстановлению глубоких связей между Наукой и Искусством как двух взаимно дополняющих друг друга методов раскрытия и отражения объективной гармонии Мироздания. Для решения этих проблем в современной науке должна возникнуть новая интегральная наука, называемая "Наукой о Гармонии", в которой числа Фибоначчи и золотое сечение должны занять достойное место.