Новое геометрическое определение числа

Как известно, "число" является наиболее важным понятием математики, а теория чисел является одной из древнейших математических теорий. И если математику называют "царицей науки", то теорию чисел называют "царицей математики".

Но что такое "число"? Казалось бы, по этому вопросу математики нашли общий язык. Но все не так просто. Существует ряд различных определений понятия числа. Начнем с наиболее простого, которое известно как "Евклидово определение".

Евклид (ок. 365 - ок 300 до н.э.)
Евклид (ок. 365 - ок 300 до н.э.)

Евклид рассматривал все числа как геометрические отрезки, и такой подход привел его к следующему определению натурального числа. Вообразим, что мы имеем бесконечное количество "эталонных отрезков" длины 1. Евклид называл их "монадами" и не считал "монаду" за число. Это было просто "начало всех чисел". Итак, пусть мы имеем бесконечное множество S "монад", то есть

S = {1, 1, 1, …}(1)

Тогда натуральное число N определятся как некоторый отрезок, представляющий сумму "эталонных отрезков" из множества (1), то есть,

N = 1 + 1 + 1 + ... + 1 (N раз).(2)

Несмотря на предельную простоту такого определения, оно сыграло большую роль в математике и лежит в основе многих полезных математических понятий, например, понятий простого и составного числа, а также понятия "делимости", которое является одним из главных понятий теории чисел.

Известен "конструктивный подход" к определению понятия "действительное число". Согласно этому подходу действительное число A является математическим объектом, который задается с помощью следующей математической формулы:

(3)

где ai Î {0, 1} и i = 0, ±1, ±2, ±3, ... .

Определение числа, задаваемое (3), имеет следующую геометрическую интерпретацию. Пусть задано бесконечное множество "двоичных" отрезков:

B = {2n},(4)

где n = 0, ±1, ±2, ±3, ... . Тогда "конструктивными" действительными числами называются все математические объекты, которые могут быть представлены в виде конечной суммы (3), состоящей из любой совокупности "двоичных" отрезков, взятых из (4).

Заметим, что количество членов суммы (3) всегда конечно, но потенциально неограниченно (конструктивное понятие потенциальной осуществимости). Определение (3) разбивает все "действительные числа" на две части, а именно "конструктивные действительные числа", которые могут быть представлены в виде конечной суммы (3), и "неконструктивные действительные числа", которые никогда не могут быть представлены в виде конечной суммы (3). Это означает, что все традиционные иррациональные числа (например, p, , "золотое сечение" Эйлерово число e и т.д.) и часть рациональных чисел (например, 2/3, 3/7 и т.д.) являются "неконструктивными" в рамках системы счисления (3). Заметим, что "неконструктивные" действительные числа могут быть представлены в виде (3) приближенно, причем ошибка приближения D будет неограниченно уменьшаться по мере увеличения числа членов в (3), однако D ¹ 0 для "неконструктивных" действительных чисел.

В течение многих тысячелетий математики развивали и уточняли понятие числа. В 17-м веке в период зарождения современной науки, в частности, современной математики, разрабатывается ряд методов изучения непрерывных процессов и понятие действительного числа выходит на передний план. Наиболее отчетливо новое определение этого понятия дается одним из основоположников математического анализа И. Ньютоном в его "Всеобщей Арифметике":

"Под числами мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу".

Исаак Ньютон (1643-1727)
Исаак Ньютон (1643-1727)

Эта формулировка дает нам единое определение действительного числа, рационального или иррационального. Если теперь рассмотреть "Евклидово определение числа" (2) с точки зрения "определения Ньютона", то в качестве "другой величины того же рода, принятой за единицу", выступает "монада". В двоичной системе счисления (3) роль "единицы" играет число 2, то есть основание системы счисления.

Рассмотрим теперь систему счисления Бергмана

(5)

с точки зрения "определения Ньютона". Ясно, система счисления (5) вполне соответствует "определению Ньютона", но ее особенность состоит в том, роль "единицы" в системе счисления Бергмана играет "золотая пропорция", которая является иррациональным числом! И тогда определение числа, задаваемое (5), имеет следующую геометрическую интерпретацию. Пусть задано бесконечное множество "эталонных отрезков", являющихся степенями золотой пропорции:

B = {tn}(6)

где n = 0, ±1, ±2, ±3, ..., где степени золотой пропорции связаны следующим фундаментальным соотношением:

tn = tn-1 + tn-2.(7)

Тогда "конструктивными" действительными числами в смысле (5) называются все математические объекты, которые могут быть представлены в виде конечной суммы (5), состоящей из любой совокупности "эталонных отрезков", взятых из (6).

Таким образом, система счисления Бергмана (5) есть ни что иное, как новое определение понятия числа, которое полностью соответствует "определению Ньютона"! Но в качестве "единицы" в нем выступает не натуральное число (2, 10, 60 и т.д.), как традиционно принято считать, а некоторое иррациональное число, выражающее собой некоторое отношение. Таким образом, в системе счисления Бергмана (5) в качестве "единицы" или "основания" выступает иррациональное число, а с помощью выражения (5) через эту "единицу" может быть выражено любое другое число, в том числе и "натуральное" в традиционном смысле число.

А теперь зададимся вопросом: существует ли более общее определение числа, которое могло бы объединить все рассмотренные выше определения числа. Оказывается такое определение существует и основывается оно на понятии обобщенной золотой пропорции или золотой р-пропорции (р = 0, 1, 2, 3, ...), которое мы ввели выше, когда рассматривали Треугольник Паскаля и р-числа Фибоначчи.

Рассмотрим бесконечное множество "эталонных отрезков", основанных на "золотой p-пропорции" tp:

(8)

где n = 0, ±1, ±2, ±3, ...; - степени "золотой p-пропорции", связанные между собой следующим соотношением:

(9)

Множество (8) "порождает" следующий конструктивный метод представления действительного числа А:

(10)

где ai Î {0, 1} и i = 0, ±1, ±2, ±3, ... .

Заметим, что впервые определения числа, задаваемое (10), было введено А.П. Стаховым в его статье "Золотая" пропорция в цифровой технике", опубликованной в журнале "Автоматика и вычислительная техника", №1, 1980 г. В этой же статье впервые введено название "коды золотой пропорции" для позиционных представлений (10). Книга А.П. Стахова "Коды золотой пропорции" (1984) является дальнейшим развитием упомянутой выше статьи и посвящена изложению теории новых позиционных представлений.

Книга А.П. Стахова 'Коды золотой пропорции'
Книга А.П. Стахова "Коды золотой пропорции"

А теперь рассмотрим еще раз позиционное представление (10). Все действительные числа, которые могут быть представлены в виде конечной суммы (10), называются "золотыми" p-числами.

Так как сумма (10) сводится к сумме (3) для случая p = 0, к сумме (5) для случая р = 1 и наконец к сумме (2) для случая p = ¥, то это означает, что выражение (10) является обобщением классического Евклидового определения (2), лежащего в основе классической теории чисел, "двоичного" определения числа (3), лежащего в основе современных компьютеров, и наконец системы счисления Бергмана (5).

Выражение (10) разделяет все действительные числа на две части, а именно конструктивные "золотые" p-числа, которые могут быть представлены в виде конечной суммы (10) и "неконструктивные" действительные числа в смысле определения (10).

Ясно, что все степени золотой p-пропорции типа (i = 0, ±1, ±2, ±3, ...) могут быть представлены в виде конечного множества "бит". Действительно, в общем виде (произвольное р) имеют место следующие представления:

Это означает, что все действительные числа типа (степени золотой p-пропорции) являются конструктивными "золотыми" p-числами в смысле (10). Из определения (10) вытекает, что все действительные числа, являющиеся суммами степеней золотой p-пропорции также могут быть представлены как конечная совокупность "бит". Например, действительное число представляется в виде следующего двоичного кода:

= 100,101.

Для случаев, когда параметр р в выражении (10) находится между 1 и ¥ (1< р < ¥), системы счисления (10) приобретают необычное свойство; их "основаниями" являются некоторые иррациональные (алгебраические) числа tр ("золотые р-пропорции"), являющиеся корнями следующего алгебраического уравнения:

xp+1 = xp + 1.

Таким образом, новое определение числа (10), введенное выше, для случаев 1< р < ¥ представляет собой ни что иное как "системы счисления с иррациональным основанием".

Но если мы имеем новое определение числа, то каждому такому определению должна соответствовать новая теория чисел! Но тогда "теорий чисел" согласно (10) существует бесконечное количество, причем "вырожденным" случаем является классическая теория чисел, основанная на "Евклидовом определении" (2). И на примере системы счисления Бергмана (5) мы смогли убедиться, что новые теории чисел могут порождать новые и чрезвычайно интересные свойства традиционных чисел, в частности "натуральных" (в традиционном смысле) чисел. И эти "экзотические" свойства (типа Z-свойства) обнаруживаются только при их представлении в системе счисления (5). И до появления системы счисления Бергмана эти свойства и не могли быть обнаружены. И поэтому можно высказать уверенность, что "коды золотой пропорции", задаваемые (10), хранят в себе много новых теоретико-числовых результатов, которые предстоит найти в будущем.

Важно заметить, что новое определение числа, задаваемое (10), является существенным элементом концепции Математики Гармонии, о которой мы расскажем на следующей странице нашего Музея. Следуйте за нами!