Z-свойство натуральных чисел

Рассмотрим представление натурального числа N в системе счисления Бергмана:

(1)

Такое представление числа N в форме (1) называется t-кодом натурального числа N.

Заметим, что дискретная переменная i принимает свои значения из множества {-¥, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., +¥}.

Вспомним теперь чудесную формулу, выведенную еще в 19-м столетии французским математиком Бине.

Жак Филлип Мари Бине (1786-1856)
Жак Филлип Мари Бине (1786-1856)

Эта формула связывает числа Фибоначчи и Люка с золотой пропорцией и имеет следующий вид:

(2)

где индексы i для чисел Фибоначчи и Люка принимают значения из множества {-¥, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., +¥}.

Напомним, что числа Фибоначчи и Люка есть бесконечные числовые последовательности, задаваемые как для положительных, так и для отрицательных значений своих индексов n (смотри Табл.1).

Таблица 1.

n012345678910
Fn011235813213455
F-n01-12-35-813-2134-55
Ln213471118294776123
L-n2-13-47-1118-2947-76123

Исследуя Табл.1, мы можем найти следующие математические соотношения для чисел Фибоначчи и чисел Люка:

2Fi+1 = Li + Fi

или

(3)

а также

Li+1 = Fi+1 + 2Fi.(4)

Теперь подставим выражение (2) вместо ti в (1). Тогда получим следующее выражение:

(5)

где

(6)
(7)

Заметим, что двоичные цифры в выражениях (6), (7) совпадают с соответствующими двоичными цифрами в выражении (1), задающем t-код натурального числа N.

Рассмотрим теперь выражение (5). Это выражение весьма необычное. Действительно, из Табл.1 вытекает, что сумма B чисел Фибоначчи с двоичными коэффициентами, задаваемая выражением (7), и сумма A для чисел Люка с двоичными коэффициентами, задаваемая выражением (6), всегда является целым числом. Но согласно (5) натуральное число N равно полусумме целого числа A и произведения целого числа B на иррациональное число . И это согласно (5) должно выполняться для любого натурального числа N! Возникает вопрос: при каких условиях это возможно? Ответ очень простой: это возможно только в случае, если член A является четным числом, а член B в выражении (5) равен тождественно 0, то есть:

(8)

Принимая во внимание тождество (8), выражение (5) может быть представлено в следующей форме:

(9)

где A определяется выражением (6) и B - выражением (8).

Принимая во внимание выражения (6) и (7), мы можем представить выражение (9) в следующем виде:

(10)

А теперь мы можем использовать выражение (3) и тогда выражение (10) может быть представлено в виде:

(11)

Выражение (11) называется F-кодом числа N.

Так как двоичные цифры в выражениях (1) и (11) совпадают, то отсюда вытекает, что F-код числа N получается из t-кода (1) одного и того же натурального числа N путем простой замены степени золотой пропорции ti в формуле (1) на число Фибоначчи Fi+1, где i = 0, ±1, ±2, ±3, ... .

Представим теперь F-код числа N в следующей форме:

(12)

где член B определяется выражением (8). Тогда выражение (12) может быть представлено в следующем виде:

(13)

Принимая во внимание тождество (4), выражение (13) может быть представлено в следующей форме:

(14)

Выражение (9) называется L-кодом числа N.

Так как двоичные цифры в выражениях (1), (14) совпадают, отсюда вытекает, что L-код числа N может быть получен из t-кода (1) того же самого числа N путем замены степени золотой пропорции ti в формуле (1) на число Люка Li+1, где i = 0, ±1, ±2, ±3, ... . Ясно, что L-код числа N также может быть получен из F-кода того же самого числа N путем замены числа Фибоначчи Fi+1 в формуле (11) на число Люка Li+1.

Сокращенная запись сумм (1), (11), и (14) имеет следующий вид:

N = am am-1 ... a1 a2 a0 a-1 a-2 ... a-(m-1) a-m.(15)

Выражения (1), (11), (14) задают три различных метода двоичного позиционного представления одного и того же числа N. t-Код (1) есть представление числа N как суммы степеней золотой пропорции, F-код (11) есть представление того же числа N как суммы чисел Фибоначчи и L-код (14) есть представление того же самого числа N как суммы чисел Люка. Как вытекает из проведенных выше рассуждений, все три метода позиционного представления одного и того же числа N имеют одинаковое сокращенное "золотое" представление (15).

Рассмотрим теперь сокращенное представление (15). Мы можем видеть, что оно разделяется запятой на две части, а именно левую часть, состоящую из разрядов с неотрицательными индексами, и правую часть, состоящую из разрядов с отрицательными индексами. В качестве примера рассмотрим "золотое" кодовое представление числа 10 (основание десятичной системы счисления):

10 = 1 0 1 0 0, 0 1 0 1.(16)

Для t-кода (1) "золотая" кодовая комбинация (16) имеет следующую алгебраическую интерпретацию:

10 = t4 + t2 + t -2 + t -4.(17)

Используя формулу Бине (2), мы можем представить сумму (17) в следующем виде:

(18)

Если мы примем во внимание следующие соотношения, связывающие числа Фибоначчи и Люка, (см. Табл.1)

L-2 = L2; L-4 = L4; F-2 = -F2; F-4 = -F4.

мы можем получить из выражения (18) следующий результат:

Рассмотрим теперь интерпретации "золотой" кодовой комбинации (16) как F- и L-коды:

10 = F5 + F3 + F-1 + F-3 = 5 + 2 + 1 + 2;

10 = L5 + L3 + L-1 + L-3 = 11 + 4 - 1 -4.

Однако возвратимся теперь к выражению (8). Сравнивая выражение (8) с выражением (1), мы можем сделать заключение, что выражение (8) может быть получено из выражения (1) путем замены ti в формуле (1) на Fi. Но согласно (8) такая замена приводит автоматически к 0!

Такое необычное свойство натуральных чисел, возникающее при их представлении в t-коде, называется Z-свойством натуральных чисел.

Продемонстрируем Z-свойство на примере, рассмотренном выше. Действительно, если мы заменим в (17) все степени золотой пропорции соответствующими числами Фибоначчи, мы получим следующую сумму чисел Фибоначчи:

F4 + F2 + F-2 + F-4.

Но поскольку F-4 = -F4 и F-2 = -F2, тогда мы имеем:

F4 + F2 + F-2 + F-4 = F4 + F2 - F2 - F4 = 0.

Таким образом, мы открыли новое свойство натуральных чисел! Их представление в t-коде (1) обладает "естественным" контрольным свойством, Z-свойством. И мы можем использовать это свойство в компьютерах. Вообразим, что мы используем в компьютерах только натуральные числа для представления числовой информации. Если мы представим все натуральные числа в t-коде, тогда мы автоматически спроектируем самоконтролирующийся компьютер, основанный на Z-свойстве! И позже на страницах нашего Музея мы рассмотрим "золотую" арифметику для таких компьютеров. Следуйте за нами!