Удивительные свойства системы счисления Бергмана

Математическое выражение для системы счисления Бергмана имеет следующий вид:

(1)

где A - некоторое действительное число и ai - двоичные цифры, 0 или 1, i = 0, ±1, ±2, ±3, ti - вес i-й цифры в системе счисления (1), t - основание системы счисления (1).

На первый взгляд, не существует никакой особенности в выражении (1) по сравнению с известными позиционными системами счисления, но это только на первый взгляд. Главная особенность состоит в том, что Бергман использовал иррациональное число ("золотая пропорция") в качестве основания своей системы счисления (1), названной им "тау-системой".

Рассмотрим "тау-систему" с вычислительной точки зрения. Ее основание t определяет все необычные свойства системы счисления (1). Мы знаем из предыдущих страниц Музея, что "золотая пропорция" обладает следующим свойством:

tn = tn-1 + tn-2.(2)

Рассмотрим представления чисел в "тау-системе" (1). Ясно, что сокращенная запись числа A в "тау-системе" (1) имеет следующий вид:

A = anan-1 ... a1a0, a-1a-2 ... a-m.(3)

Мы можем видеть, что сокращенная запись числа A представляет собой двоичную кодовую комбинацию, разделенную запятой на две части, левую часть anan-1 ... a1a0, соответствующую "весам": tn, tn-1, ..., t1, t0 = 1, и правую часть a-1a-2 ... a-m, соответствующую "весам": t -1, t -2, ..., t -m. Заметим, что "веса" ti (i =0, ±1, ±2, ±3, ...) задаются математической формулой (2).

Например, рассмотрим двоичную кодовую комбинацию 100101. Ясно, что она представляет собой следующее действительное число:

A = 100101 = t5 + t2 + t0.(4)

Используя формулу Бине, мы можем поучить, что число A, задаваемое выражением (4), равно:

Заметим, что число является иррациональным числом. Это означает, что мы представили некоторое иррациональное число A в "тау-систем", используя кодовую комбинацию 100101, состоящую из конечного числа бит!

Ясно, что основание "тау-системы" представляется в ней традиционным образом, то есть:

Но из нашего предыдущего опыта мы знаем, что невозможно представить иррациональное число с использованием конечного числа цифр. Именно поэтому возможность представления некоторых иррациональных чисел (степеней "золотой пропорции" и их сумм) с использованием конечной совокупности двоичных цифр есть первый неожиданный результат "тау-системы", который противоречит нашим традиционным представлениям о системах счисления.

Возникает вопрос о представлении натуральных чисел в "тау-системе". Для этого рассмотрим еще раз фундаментальное тождество (2). На кодовом уровне оно имеет следующую кодовую интерпретацию:

100 = 011.(5)

Как мы можем использовать кодовое преобразование (5)? Для этого мы рассмотрим "золотую" кодовую комбинацию 100101, которая представляет число (4). Если мы используем преобразование (7) к старшим трем разрядам "золотой" кодовой комбинации" 100101, мы получим новое "золотое" представление числа (4), а именно:

A = t5 + t2 + t0 = 100101 = 011101 = t4 + t3 + t2 + t0.

Заметим, что в этом случае степень "золотой пропорции" t5 заменятся на сумму двух предыдущих степеней t4 + t3 в соответствии с фундаментальным соотношением (2). Заметим также, что это не изменяет число (4). На кодовом уровне такое преобразование представляет собой следующее:

100 ® 011.(6)

Это кодовое преобразование называется "разверткой". Обратное преобразование

011 ® 100.(7)

называется "сверткой".

Таким образом, числа имеют многозначное представление в "тау-системе". Это - второй неожиданный результат, вытекающий из рассмотрения "тау-системы". Используя введенные выше преобразования "свертки" и "развертки", мы можем получить два крайних "золотых" представления одного и того же числа в "тау-системе". Например, рассмотрим кодовую комбинацию 0111111. Если мы выполним в ней все возможные "свертки" (7), то мы получим первое крайнее "золотое" представление, называемое "минимальной формой":

0111111 = 1001111 = 1010011 = 1010100 ("минимальная форма").

Заметим, что в "минимальной форме" двух единиц рядом не встречается.

Рассмотрим теперь "золотую" кодовую комбинацию 100000, которая представляет иррациональное число Выполняя в ней все возможные операции "развертки" (6), мы можем получить второе крайнее "золотое" представление, называемое "максимальной формой":

100000 = 0110000 = 0101100 = 0101011 ("максимальная форма").

Заметим, что в "максимальной форме" двух нулей рядом не встречается.

Покажем теперь, как можно получить все "золотые" представления натуральных чисел, используя операции "свертки" и "развертки". Начнем с числа 1. Оно может быть представлено через "золотую пропорцию" следующим способом:

1 = t0.

Но используя "тау-систему" (1), мы можем представить число t0 = 1 следующим образом:

1 = t0 = 1,00. (8)

Заметим, что в "золотом" представлении 1,00 запятая отделяет 0-й разряд от разрядов с отрицательными индексами.

Затем, используя "развертку", мы можем представить число (8) следующим образом:

t0 = 1,00 = 0,11 = t -1 + t -2.(9)

А теперь добавим бит 1 в 0-й разряд "золотого" представления 0,11. В результате мы получим "золотое" представление числа 2:

2 = 1,11.(10)

Применяя операцию "свертки" к старшим разрядам "золотого" представления (10), мы получаем новое "золотое" представление ("минимальную форму") числа 2:

2 = 10,01 = t1 + t -2.

Добавляя бит 1 в 0-1 разряд "золотого" представления числа 2, мы получаем "золотое" представление" числа 3:

3 = 11,01.

Применяя операцию "свертки" к старшим разрядам "золотого" представления числа 3, мы получаем новое "золотое" представление ("минимальную форму") числа 3:

2 = 100,01 = t2 + t -2.

"Золотые" представления чисел 4 и 5 имеют следующий вид:

4 = 101,01 = t2 + t0 + t -2;
5 = 1000,1001 = t3 + t -1 + t -4.

Продолжая этот процесс, можно получить "золотые" представления всех натуральных чисел в "тау-системе". Это означает, что любое натуральное число может быть всегда представлено в виде конечной суммы степеней золотой пропорции! Это утверждение представляет собой наиболее неожиданный результат, вытекающий из рассмотрения "тау-системы".

А теперь возвратимся на 2,5 тысячелетия назад и представим себе реакцию пифагорейцев на это утверждение. Согласно главной доктрине пифагорейцев "Все есть число" в основе мироздания лежат натуральные числа и их отношения, так как любую вещь в природе можно выразить как отношение двух натуральных чисел. Но мы только что показали, что любое натуральное число может быть выражено через золотую пропорцию. Из этого рассуждения с необходимостью вытекает новая доктрина, которую пифагорейцы немедленно сформулировали бы, если бы знали о нашем результате: "Все есть золотая пропорция"!

Но пифагорейцы были бы потрясены еще больше, если бы знали, что натуральные числа обладают еще одним уникальным свойством - Z-свойством, о котором мы расскажем на следующей страничке нашего Музея. Следуйте за нами!