Роль систем счисления в развитии математики

Открытие Бергмана относится к такому старейшему разделу математики как системы счисления. И чтобы по-настоящему оценить значение этого открытия, мы должны коротко рассказать об истории систем счисления и оценить их роль в развитии математики. Эта история восходит в своих началах к античному периоду развития математики. Высшим достижением древней арифметики является открытие позиционного принципа представления чисел. Хорошо известно, что первой из известных систем счисления, основанных на позиционном принципе, была вавилонская 60-ричная система счисления, возникшая в Древнем Вавилоне примерно во 2-м тысячелетии до новой эры.

Мы используем для повседневных вычислений десятичную систему счисления. Хорошо известно, что предшественницей десятичной системы счисления является Индусская десятичная система, возникшая примерно в 8-м столетии нашей эры. Известный французский математик Лаплас (1749-1827) выразил свое восхищение позиционным принципом и десятичной системой в следующих словах:

"Мысль выражать все числа 9 знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой".

Лаплас (1749 - 1827)
Лаплас (1749 - 1827)

Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в своем сочинении "Liber abaci" (1202) выступил убежденным сторонником новой нумерации. Он писал:

"Девять индусских знаков - суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски "zephirum", можно написать какое угодно число".

Здесь словом "zephirum" Фибоначчи передал арабское слово "as-sifr", являющееся дословным переводом индусского слова "sunya", то есть пустое, служившее названием нуля. Слово "zephirum" дало начало французскому и итальянскому слову "zero" (нуль). С другой стороны, то же арабское слово "as-sifr" было передано через "ziffer", откуда произошли французское слово "chiffre", немецкое "ziffer", английское "cipher" и русское "цифра".

Леонардо Пизано Фибоначчи (1170 - 1228)
Леонардо Пизано Фибоначчи (1170 - 1228)

Однако современные компьютеры основываются на "двоичной" системе счисления. Кто же открыл двоичный способ представления чисел и двоичную арифметику? Открытие двоичного способа представления чисел приписывают китайскому императору Фо Ги, жизнь которого относится к 4-му тысячелетию до новой эры. Известный немецкий математик Лейбниц (1646-1716) в 1697 г. разработал правила двоичной арифметики.

Лейбниц (1646 - 1716)
Лейбниц (1646 - 1716)

Он не рекомендовал двоичную арифметику для практических вычислений вместо десятичной системы счисления, но подчеркивал, что "вычисление с помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот, является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок".

Блестящие предсказания Лейбница сбылись только через 2,5 столетия, когда выдающийся американский ученый, физик и математик Джон фон Нейман предложил использовать именно "двоичную" систему счисления в качестве универсального способа кодирования информации в компьютерах ("Принципы Джона фон Неймана").

Джон фон Нейман (1903-1957)
Джон фон Нейман (1903-1957)

Таким образом, как подчеркивают многие выдающиеся математики, открытие вавилонянами позиционного принципа, а затем индусами десятичной системы счисления, основанной на позиционном принципе, по праву относятся к эпохальным открытиям математики за всю историю ее существования.

Почему же в теории чисел и теоретической арифметике не уделялось системам счисления того внимания, которое они несомненно заслуживали. Все дело - в традиции. В греческой математике, достигшей высокого уровня развития, впервые происходит сохранившееся до наших дней разделение математики на "высшую" математику, к которой относилась геометрия и теория чисел, и "логистику" - прикладную науку о технике арифметических вычислений ("школьная" арифметика), геометрических измерениях и построениях. Уже со времени Платона "логистика" третировалась как низшая, прикладная дисциплина, не входящая в круг образования философа и ученого. Восходящее к Платону пренебрежительное отношение к "школьной" арифметике и ее проблемам, а также отсутствие какой-либо достаточно серьезной потребности в создании новых систем счисления в практике вычислений, которая в течение многих столетий всецело удовлетворялась десятичной системой, а в последние десятилетия - двоичной системой (в информатике), и может служить объяснением того факта, что в теории чисел не уделялось должного внимания системам счисления и в этой части теория чисел не намного ушла вперед по сравнению с периодом своего зарождения.

Ситуация резко изменилась после появления современных компьютеров. Именно в этой области опять появился интерес к способам представления чисел и новым компьютерным арифметикам. И поэтому появление системы счисления Бергмана, переворачивающей наши представления не только о системах счисления, но и о теории чисел в целом, следует считать революционным математическим открытием 20-го столетия! И мы расскажем об удивительных математических свойствах системы счисления Бергмана на следующих страницах нашего Музея. Следуйте за нами!