Золота пропорция как главная математическая константа Математики Гармонии

Благодаря открытию "несоизмеримых отрезков" пифагорейцы сделали наиболее существенные вклад в развитие понятия "иррациональное число", которое является следующим, после натурального числа, фундаментальным понятием математики.

Как известно, количество иррациональных чисел бесконечно. Однако, некоторые из них занимают особое место в истории математики, более того - в истории материальной и духовной культуры человечества. Их особенность состоит в том, что они выражают некоторые отношения, имеющие универсальный характер и возникающие в самых неожиданных местах.

Первое из них есть иррациональное число , которое равно отношению диагонали к стороне квадрата. С этим иррациональным числом связано открытие "несоизмеримых отрезков" и история наиболее драматического периода в античной математики. В конечном итоге, это открытие привело к разработке теории иррациональных чисел и созданию современной "непрерывной" математики.

Еще два важных иррациональных числа - это число p и "Эйлерово число" e. Число p, выражающее отношение длины окружности к ее диаметру, вошло в математику в античный период вместе с тригонометрией, в частности сферической тригонометрией, которая в тот период рассматривалась как прикладная математическая теория, предназначенная для вычисления планетных координат на "небесных сферах" ("культ сферы").

Число e вошло в математику значительно позже числа p. Его открытие было непосредственно связано с открытием натуральных логарифмов. Как известно, число e выражает ряд важных геометрических свойств гиперболы. Существует следующее математическое выражение, связывающее числа p и e:

где - "мнимая единица", еще одно необычное творение математической мысли.

Числа p и e порождают множество фундаментальных математических функций, называемых элементарными функциями. Число p порождает тригонометрические функции sin x и cos x, число e порождает экспоненциальную функцию ex, логарифмическую функцию logex, а также так называемые гиперболические функции, а именно гиперболический синус и косинус:

(1)

Тригонометрические функции связаны с экспоненциальной функцией с помощью формул Эйлера:

Тригонометрические функции и экспоненциальная функция играют особую роль в дифференциальном и интегральном исчислении, потому что они являются "инвариантами" относительно операций интегрирования и дифференцирования:

(2)
(3)

Таким образом, можно сказать, что тригонометрические функции и экспоненциальная функции выражают "сущность" интегрирования и дифференцирования и являются их "инвариантами". Благодаря уникальным математическим свойствам (2), (3) элементарные функции, порождаемые числами p и e наиболее распространены в интегральном и дифференциальном исчислении. В этой связи существует следующее выражение: "Числа p и e господствуют над анализом".

"Золотая пропорция" является еще одной фундаментальным иррациональным числом. Оно вошло в математику в античный период вместе с числом p. Таким образом, начиная с Египетского периода, в математическое естествознание вошло два направления развития науки, основанные на различных представлениях о Гармонии Вселенной, а именно направление числа p, базирующееся на представлении о сферическом характере планетных орбит, и направление "золотого сечения", базирующееся на додекаэдро-икосаэдрическом представлении о структуре Вселенной. Последнее представление возникло в результате анализа циклических процессов в Солнечной системе и лежит в основе календарных систем и систем измерения времени и угловых величин, базирующихся на фундаментальных числовых характеристиках додекаэдра и икосаэдра, то есть на числах 12, 30, 60 и 360.

В процессе исторического развития произошло разделение названных выше направлений математического изучения природы. Направление числа p, дополнившееся в 16-м столетии числом e, стало основой для моделирования процессов в неживой природе. Наибольшим достижением этого направления стали ньютоновская теория гравитации и дифференциальное и интегральное исчисление.

Направление "золотого сечения", восходящее к античности и эпохе Возрождения, ассоциировалось все больше и больше с искусством и биологическими процессами. Во второй половине 20-го столетия такое представление о гармонии Вселенной вышло на передние роли в математическом изучении природы. Современные научные открытия, связанные с "золотым сечением" (квази-кристаллы, резонансная теория Солнечной системы, новая геометрическая теория филлотаксиса, закон структурной гармонии систем и др.) являются достаточным аргументом и доказательством наиболее удивительной научной гипотезы, возникшей в древнем Египте и реализованной в Пирамиде Хеопса. Эта гипотеза провозглашает, что золотое сечение является главной пропорцией Мироздания.

Но подобно тому, как исследования Кеплера, нацеленные на поиски принципов Гармонии Вселенной (завершившиеся открытием законов движения планет), в конечном итоге привели к возникновению ньютоновской теории гравитации и созданию дифференциального и интегрального исчисления, оптимально адаптированных для описания механических процессов, современные исследования в области могут привести, в конечном итоге, к Математике Гармонии, оптимально адаптированной к описанию "гармонических" процессов в живой и неживой природе. И подобно тому, как числа p и e, "господствующие над анализом", являются основными константами классического математического анализа, так же и "золотое сечение" должно стать основной константой Математики Гармонии.

В последние годы в рамках "гармонического" направления получено ряд новых математических результатов фундаментального характера, который могут стать основой Математики Гармонии. К ним относятся теория чисел Фибоначчи, алгоритмическая теория измерения, новая теория гиперболических функций, основанных на числах Фибоначчи и Люка и др.

Из этого рассмотрения вытекает, идея выделить часть математики, связанной с числами Фибоначчи и "золотым сечением", под общим названием "Математика Гармонии". Впервые эта идея была изложена в лекции "The Golden Section and Modern Harmony Mathematics", прочитанной проф. Стаховым на 7-й Международной конференции по числам Фибоначчи и их приложениям (Австрия, Грац, 1996).

Труды Фибоначчи-конференции 'Applications of Fibonacci Numbers' (Volume 7)Лекция А.П.Стахова 'The Golden Section and Modern Harmony Mathematics'