Обобщение "фибоначчиевых" алгоритмов измерения

Дальнейшее обобщение "фибоначчиевых" алгоритмов измерения, основанных на "Принципе Асимметрии Измерения", состоит в следующем. Увеличим число рычажных весов, участвующих в измерении, от 1 до k. Пусть один и тот же груз Q находится на левой чаше всех рычажных весов. Это соответствует случаю "параллельного" измерения груза Q с использованием k рычажных весов за n шагов. Случай "параллельных" измерений используется очень часто в аналого-цифровых преобразователях электрических величин для повышения их быстродействия. В последнем случае измеряемая электрическая величина поступает параллельно на входы k компараторов (электрический аналог рычажных весов).

Пусть все "рычажные весы", участвующие в измерении, имеют "инерционность" p, (p = 0, 1, 2, 3, ...). Это приводит к проблеме нахождения "оптимального" (n, k, S)-алгоритма, использующего k "рычажных весов", имеющих "инерционность" p. Для моделирования "инерционности" рычажных весов (или "индикаторных элементов") мы вводим понятие "состояния" j-х ИЭ на l-м шаге (j = 1, 2, 3, ..., k; l = 1, 2, 3, ..., n). Обозначим это состояние через pj(l). Из "физических" соображений вытекает, что целая функция pj(l) имеет следующие свойства:

0 £ pj(l) £ p;(1)
pj(l + 1) = pj(l) - 1.(2)

Разъясним "физический" смысл свойств (1), (2). Заметим, что выражение pj(l) = 0 означает, что j-е рычажные весы находятся в исходном положении. Выражение (2) отражает процесс перехода j-х рычажных весов из противоположного состояния в исходное состояние. В соответствии с (2) "состояние" IE уменьшается на l на каждом шаге. Таким образом, если j-й ИЭ на l-м шаге алгоритма перешел из состояния pj(l - 1) = 0 в состояние pj(l) = p, тогда его состояния на следующих шагах алгоритма измерения постепенно уменьшаются в соответствии со следующим правилом:

pj(l)=p;
pj(l + 1)=p - 1;
pj(l + 2)=p - 2;
.........................
pj(l + p - 1)=1;
pj(l + p)=0.

Заметим, что выражение pj(l) = 0 означает, что j-й ИЭ на l-м шаге алгоритма может прикладываться к точкам "интервала неопределенности".

После таких предварительных замечаний попытаемся синтезировать "оптимальный" (n, k, S)-алгоритм. Перед l-м шагом мы будем перенумеровывать все "индикаторные элементы" согласно следующему правилу:

pk(l) ³ pk-1(l) ³ pk-2(l) ³ ... ³ p2(l) ³ p1(l),(3)

где pj(l) - "состояние" j-го ИЭ на l-м шаге (j = 1, 2, 3, ..., k; l = 1, 2, 3, ...).

Мы обозначим "состояния" ИЭ на первом шаге (n, k, S)-алгоритма через p1, p2, p3, ..., pk. Исходные "состояния" ИЭ удовлетворяют условию (3), то есть

pk ³ pk-1 ³ pk-2 ³ ... ³ p2 ³ p1.(4)

Обозначим функцию "эффективности" "оптимального" (n, k, S)-алгоритма через

Fp(n, k) = Fp(n; p1, p2, p3, ..., pk).

Пусть исходные "состояния" ИЭ p1, p2, p3, ..., pk, проранжированные согласно (4), таковы, что "состояния" первых t ИЭ равны 0, то есть:

p1 = p2 = p3 = ... = pt = 0.

Однако, мы видим, что наш читатель "бесконечно" устал от этих весьма сложных математических рассуждений и мы даем окончательный результат для функции "эффективности" алгоритма измерения:

(5)
(6)

Мы можем видеть, что для заданного p функция "эффективности" "оптимального" алгоритма выражается с помощью весьма сложной формулы (5). Однако частные случаи этой рекуррентной формулы дают нам весьма "неожиданные" результаты. Эти результаты демонстрируются с помощью следующей таблицы.

О чем говорит эта таблица? "Неожиданность" основного результата "алгоритмической теории измерения" состоит в следующем. Общее рекуррентное соотношение (5), (6) задает нам в общей форме бесконечное число новых, до сих пор неизвестных алгоритмов измерения. При этом все классические алгоритмы измерения, используемые в измерительной практике ("двоичный" алгоритм, "алгоритм счета") являются частными случаями "оптимальных" измерительных алгоритмов. Основное рекуррентное соотношение (5), (6) включает в себя ряд хорошо известных комбинаторных формул, в частности, формулу (k + 1)n, формулу задающую биномиальные коэффициенты, рекуррентную формулу для чисел Фибоначчи, наконец, формулу для двоичных чисел (2n) и натуральных чисел (n + 1).

Математики-фибоначчисты предложили много интересных обобщений для рекуррентной формулы Фибоначчи. Ясно, что основное рекуррентное соотношение алгоритмической теории измерения может рассматриваться как весьма широкое обобщение "фибоначчиевого" рекуррентного соотношения. И такой подход представляет интерес прежде всего для расширения "фибоначчиевых" исследований.

Следующий методологический вывод состоит в следующем: "алгоритмическая теория измерения" является источником новых идей в развитии позиционных систем счисления. Эта идея может привести к созданию новых систем счисления и новых компьютерных арифметик, представляющих большой интерес для компьютерной науки. Одним из таких предложений являются так называемые p-коды Фибоначчи. И мы расскажем о p-кодах Фибоначчи на следующей странице нашего Музея. Следуйте за нами!