Классические алгоритмы измерения

Но если мы хотим создать новую теорию измерения, алгоритмическую теорию измерения, мы должны прежде всего понять, что такое "алгоритм измерения" и дать этому понятию строгое определение.

Начнем с классических алгоритмов измерения, широко используемых в измерительной практике.

Заметим, что если мы хотим что-то измерять, мы должны знать объект измерения и диапазон измеряемых величин. Одно дело измерять космические расстояния, например расстояние от Земли до Солнца и совершенно другое измерять атомные расстояния. Однако для всех случаев мы будем представлять наш диапазон измерения как отрезок AB. Но наша измеряемая величина есть одна из возможных величин, принадлежащих заданному диапазону. То есть до начала измерения существует некоторая "неопределенность" относительно измеряемой величины. Иначе измерение было бы бессмысленным. Эту ситуацию "неопределенности" мы будем изображать с помощью "неизвестной" точки X, находящейся на отрезке AB.

И теперь мы можем сформулировать цель измерения. Цель измерения состоит в том, чтобы определить длину отрезка AX. На практике эта цель реализуется с помощью специальных устройств, например рычажных весов. Рычажные весы сравнивают измеряемую величину с некоторой эталонной гирей и в зависимости от результата сравнения выдают нам информацию об измеряемой величине. Таким образом, суть измерения сводится к последовательным сравнениям измеряемой величины с некоторыми эталонными величинами или гирями, имеющимися у нас в распоряжении. Чтобы промоделировать процесс измерения на отрезке AB, мы вводим важное понятие "Индикаторного Элемента" (ИЭ). Каждый ИЭ может быть приложен к любой "известной" нам точке C отрезка AB. "Индикаторный Элемент" дает нам информацию о взаимном расположении "неизвестной" точки X и "известной" точки C. Если ИЭ находится справа от точки X, он "индицирует" двоичный сигнал 0. В противном случае - двоичный сигнал 1.

Теперь мы можем "промоделировать" рассмотренный выше "двоичный" алгоритм измерения, действующий на отрезке [0,8], следующим образом (Рис.1). "Двоичный" алгоритм, рассматриваемы на Рис. 1, состоит из трех шагов.

Первый шаг состоит в приложении ИЭ к середине исходного отрезка [0,8], то есть к точке 4. После первого шага возникает две ситуации в зависимости от "показания" ИЭ, отрезки [0,4] и [4,8], которые являются новыми отрезками "неопределенности".

Второй шаг.

  1. Если "показание" ИЭ в точке 4 равно 0, (ИЭ показал влево), это означает, что измеряемая точка X находится на отрезке [0,4]. В этой ситуации второй шаг измерительного алгоритма состоит в приложении ИЭ к середине отрезка [0,4], то есть к точке 2.
  2. Если "показание" ИЭ в точке 4 равно 1 (ИЭ показал направо), это означает, что измеряемая точка X находится на отрезке [4,8]. В этой ситуации второй шаг измерительного алгоритма состоит в приложении ИЭ к середине отрезка [4,8], то есть к точке 6.

Может возникнуть четыре ситуации после второго шага.

Третий шаг.

  1. Если "показание" ИЭ в точке 2 равно 0 (ИЭ показал влево), это означает, что измеряемая точка X находится на отрезке [0,2]. В этой ситуации третий шаг измерительного алгоритма состоит в приложении ИЭ к середине отрезка [0,2], то есть к точке 1.
  2. Если "показание" ИЭ в точке 2 равно 1 (ИЭ показал направо), это означает, что измеряемая точка X находится на отрезке [2,4]. В этой ситуации третий шаг измерительного алгоритма состоит в приложении ИЭ к середине отрезка [2,4], то есть к точке 3.
  3. Если "показание" ИЭ в точке 6 равно 0 (ИЭ показал влево), это означает, что измеряемая точка X находится на отрезке [4,6]. В этой ситуации третий шаг измерительного алгоритма состоит в приложении ИЭ к середине отрезка [4,6], то есть к точке 5.
  4. Если "показание" ИЭ в точке 6 равно 1 (ИЭ показал направо), это означает, что измеряемая точка X находится на отрезке [6,8]. В этой ситуации третий шаг измерительного алгоритма состоит в приложении ИЭ к середине отрезка [6,8], то есть к точке 7.

Из Рис.1 вытекает, что "двоичный" алгоритм измерения разбивает отрезок [0,8] на 8 равных частей: [0,1], [1,2], [2,3], [3,4], [4,5], [5,6], [6,7], [7,8].

'Двоичный' алгоритм измерения
Рисунок 1. "Двоичный" алгоритм измерения.

Ясно, что рассмотренный выше "двоичный" алгоритм измерения разбивает отрезок [0,8] на T = 8 равных частей. Мы можем использовать эту числовую характеристику алгоритма измерения в качестве критерия эффективности. Ясно, что в общем случае n-шаговый "двоичный" алгоритм измерения разделяет отрезок AB на T = 2n равных частей.

Существенно подчеркнуть, что в указанном смысле рассматриваемый алгоритм измерения является "оптимальным". Это означает, что невозможно найти алгоритм измерения, который за n шагов мог бы разбить отрезок на большее число частей.

Подчеркнем, что если записать последовательность "показаний" ИЭ, например, 1001101001 …, то указанная последовательность будет представлять собой "двоичный" код числа, соответствующего длине измеряемого отрезка AX. Это означает, что "двоичный" алгоритм измерения порождает "двоичный" способ представления чисел.

Но "двоичный" алгоритм измерения не является единственным алгоритмом измерения. В нашей повседневной жизни мы очень часто используем так называемый "алгоритм счета", лежащий в основе рассмотренной выше аксиомы Евдокса-Архимеда.

Например, мы используем "алгоритм счета" в том случае, если мы попытаемся подсчитать число наших шагов, укладывающихся в некотором расстоянии, например в расстоянии от нашего дома до университета.

Алгоритм счета
Рисунок 2. "Алгоритм счета".

"Алгоритм счета", демонстрируемый с помощью Рис.2, состоит из 3-х шагов и использует только один ИЭ. Он разбивает отрезок [0,4] на 4 равные части за 3 шага.

Первый шаг состоит в приложении ИЭ к точке 1. После первого шага возникает две ситуации в зависимости от "показания" ИЭ, отрезок [0,1] и отрезок [1,3].

Второй шаг.

  1. Если "показание" ИЭ в точке 1 равно 0 (ИЭ показал влево), это означает, что измеряемая точка X находится на отрезке [0,1]. В этой ситуации процесс измерения заканчивается, так как координата точки X (X Î {0,1]) определена с "точностью", определяемой единицей измерения.
  2. Если "показание" ИЭ в точке 1 равно 1 (ИЭ показал направо), это означает, что измеряемая точка X находится на отрезке [1,4]. В этой ситуации процесс измерения продолжается и ИЭ на следующем шаге прикладывается к точке 2.

Третий шаг.

  1. Если "показание" ИЭ в точке 2 равно 0 (ИЭ показал влево), это означает, что измеряемая точка X находится на отрезке [1,2]. В этой ситуации процесс измерения заканчивается, так как координата точки X (X Î {1,2]) определена с "точностью", соответствующей единице измерения.
  2. Если "показание" ИЭ в точке 2 равно 1 (ИЭ показал направо), это означает, что измеряемая точка X находится на отрезке [2,4]. В этой ситуации процесс измерения продолжается и ИЭ на следующем шаге прикладывается к точке 3. В результате мы получим два отрезка [2,3] и [3,4] в зависимости от "показаний" ИЭ на последнем шаге.

Ясно, что рассмотренный выше "алгоритм счета" разбивает отрезок [0,4] на T = 4 равные части. Очень просто доказать, что в общем случае n-шаговый "алгоритм счета" разбивает отрезок AB на T = n + 1 равных частей.

Возникает вопрос: какой алгоритм измерения "лучше"? Если мы сравним n-шаговые "двоичный" алгоритм и "алгоритм счета" по их эффективности (T = 2n - для "двоичного" алгоритма и T = n + 1 - для "алгоритма счета"), тогда мы можем сделать заключение, что "двоичный" алгоритм более эффективный. Но иногда мы не можем применить "двоичный" алгоритм! Все зависит от характера измеряемой величины и от используемых средств измерения. Например, если измеряемой величиной является время, то "алгоритм счета", является "естественным" алгоритмом для измерения временных интервалов. Это означает, что для сравнения эффективности алгоритмов измерения, мы должны сравнивать между собой только те алгоритмы, которые удовлетворяют одним и тем же условиям или "ограничениям" S, накладываемых на измерительный алгоритм.

В чем состоит различие между "двоичным" алгоритмом и "алгоритмом счета"? Мы можем дать ответ на этот вопрос, если сравним характер "движения" ИЭ на отрезке AB в этих алгоритмах. Ясно, что в "двоичном" алгоритме ИЭ движется "хаотично" на каждом шаге, то есть как влево, так и вправо по отношению предыдущему шагу. Обозначим "ограничения" на "двоичный" алгоритм измерения через S=0.

Рассмотрим теперь "алгоритм счета". Ясно, что "движение" ИЭ для этого случая подчиняется строгому правилу: ИЭ "движется" только в одном направлении слева направо. Обозначим такое "ограничение" для "алгоритма счета" через S=1.

Однако до сих пор мы не открыли ничего нового! Человеческая практика использует эти классические алгоритмы много тысячелетий! Однако мы просим вас быть более терпеливыми! Новые результаты впереди! Следуйте за нами!