Конструктивный подход к теории измерения

Аксиома Кантора, которая вместе с аксиомой Евдокса-Архимеда лежит в основе классической математической теории измерения, была введена Кантором в 1872 году.

Георг Кантор (1845-1918)
Георг Кантор (1845-1918)

Эта аксиома содержит в себе еще одно необычное творение математической мысли, называемое абстракцией "актуальной" или "завершенной" бесконечности. Чтобы уяснить это понятие, мы должны сравнить аксиому Евдокса-Архимеда с аксиомой Кантора. Как в первой, так и во второй аксиомах мы используем понятие "бесконечного". Однако между понятиями "бесконечного", используемыми в этих аксиомах, существует принципиальное различие. Что касается аксиомы Кантора, то бесконечное множество "вложенных" отрезков вместе с объединяющей их точкой C рассматривается как заданное всеми своими объектами одновременно. Существование "завершенных" или "актуальных" бесконечных множеств представляют собой наиболее характерной особенностью "канторовского" теоретико-множественного стиля математического мышления.

Благодаря своему "эмпирическому" происхождению аксиома Евдокса-Архимеда является конструктивной и содержит в себе более "простую" абстракцию бесконечного, которое называется абстракцией потенциальной осуществимости.

В соответствии с аксиомой Евдокса-Архимеда число шагов измерения в этой аксиоме всегда конечно, но "потенциально неограниченно". Такое представление о бесконечном и лежит в основе конструктивного подхода в современной математике.

Таким образом, рассматривая классическую теорию измерения, основанную на аксиомах Евдокса-Архимеда и Кантора, мы коснулись двух глубочайших математических абстракций, абстракции "актуальной" или "завершенной" бесконечности и абстракции "потенциальной бесконечности". Эти две абстракции разделяют математику на две части: (1) теоретико-множественную математику, основанную на признании абстракции "актуальной" или "завершенной" бесконечности; (2) конструктивную математику, основанную на признании абстракции "потенциальной бесконечности" и отвергающей абстракцию "актуальной бесконечности".

"Борьба" между этими двумя подходами к фундаментальным понятиям математики продолжается до сих пор и составляет существо нового кризиса в основаниях современной математики.

Но предоставим слово самим математикам. Идея измерения как процесса, завершающегося за "бесконечное" время, обнаруживает, с одной стороны, "глубокий разрыв с экспериментальными данными исследования природы"; с другой стороны, согласно высказыванию русского математика Маркова, одного из создателей "конструктивной математики", "мыслить себе бесконечный, то есть никогда не завершаемый процесс как завершенный, невозможно без грубого усилия над разумом, отвергающим такие противоречивые фантазии".

Подобно "проблеме несоизмеримости" в античной математике, которая привлекла внимание многих выдающихся греческих философов, "проблема бесконечного" является предметом глубоких философских исследований в современной науке. Одним из современных философов, внесших оригинальный вклад в эту проблему, является русский философ Георгий Чефранов (Таганрог, Таганрогский радиотехнический университет).

Проф. А.П. Стахов и проф. Г.В. Чефранов (Таганрог, 1974 г.)
Проф. А.П. Стахов и проф. Г.В. Чефранов (Таганрог, 1974 г.)

Книга Г.В. Чефранова "Бесконечность и интеллект" (1971 г.), посвященная проблеме моделирования бесконечного языком математики и современной науки, является одним из наиболее глубоких философских сочинений по этой проблеме.

Книга Г.В. Чефранова 'Бесконечность и интеллект' (1971 г.)
Книга Г.В. Чефранова "Бесконечность и интеллект" (1971 г.)

Что же случится с классической математической теорией измерения, если абстракция актуальной бесконечности будет исключена из рассмотрения? Это будет означать, что мы должны будем исключить аксиому Кантора из состава аксиом теории измерения. Прежде всего, это будет означать, что теория измерения должна быть построена на конструктивной идее конечности всякого измерения. В соответствии с этой идеей всякое измерение осуществляется за конечное число шагов. Но в соответствии с конструктивным понятием потенциальной осуществимости число шагов измерения может быть установлено как угодно большим и всегда после очередного шага разрешается осуществить следующий шаг.

Изложенный методологический базис приводит к осознанию того факта, что любое измерение имеет принципиально неустранимую ошибку измерения, называемую ошибкой дискретизации. Отсюда вытекает новая постановка задачи построения математической теории измерения. Одной из проблем при измерении является выбор алгоритма измерения. При этом возникает различие между различными n-шаговыми алгоритмами измерения, которые обеспечивают различную "точность измерения" для заданного числа шагов алгоритма n. Таким образом, конструктивный подход в теории измерения выдвигает проблему эффективности или "оптимальности" измерительных алгоритмов в качестве главной проблемы "конструктивной" или "алгоритмической" теории измерения.

    "Проблема измерения" стала предметом глубоких философских дискуссий между проф. Стаховым и проф. Чефрановым в период с 1974 по 1977 годы. Результаты этих дискуссий привели к следующим выводам:
  1. Современный кризис в математике в значительной мере определяется кризисом в толковании понятия "бесконечного" в математике.
  2. Наиболее ярко различие в подходе к понятию бесконечного проявляется в математической теории измерения, основанной на аксиоме Евдокса-Архимеда и аксиоме Кантора. Поскольку в каждой из этих аксиом используются противоречивые и несовместимые друг с другом представления о бесконечном (понятие "актуальной" бесконечности - в аксиоме Кантора и понятие "потенциальной" бесконечности - в аксиоме Евдокса-Архимеда), то отсюда вытекает вывод о противоречивости классической теории измерения и всех вытекающих из нее математических теорий.
  3. Исключение из математической теории измерения абстракции "актуальной" бесконечности, приводит к автоматическому исключению из нее аксиомы Кантора и постановке вопроса о разработке конструктивной теории измерения, основанной на абстракции "потенциальной" бесконечности.
  4. Рассмотрение измерения как процесса, завершающегося за "конечное", но потенциально "неограниченное" число шагов, приводит к появлению погрешности дискретизации, принципиально неустранимой в рамках конструктивного подхода к измерению, что приводит к выдвижению проблемы поиска "оптимальных" алгоритмов измерения в качестве главной проблемы "конструктивной" или "алгоритмической" теории измерения.

Что же получилось из столь глубоких философских рассуждений? Об этом мы расскажем на следующих страницах нашего Музея. Следуйте за нами!