Первый кризис в основании математики

Со средней школы мы верим в строгость и незыблемость математики, которую называют "царицей науки". Поэтому для многих из нас окажется полным сюрпризом, что в процессе своего развития математика подвергалась кризисам. Более того, еще большим сюрпризом для нас является и тот факт, что, начиная с начала 20-го столетия, математика находится в состоянии глубочайшего кризиса, и современные математики не видят путей выхода из этого кризиса.

На этой странице нашего Музея мы расскажем о первом кризисе в истории математики. Однако, чтобы понять эту страничку нашего Музея, мы должны напрячь все наши математические и даже философские способности и знания. И если эта страничка слишком сложна для вас, вы можете опустить ее и двигаться дальше.

Итак, почему возник первый кризис в основании математики? Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны вспомнить, что главная философская доктрина пифагорейцев сводилась к утверждению: "Все есть число", то есть, все вещи в мире могут быть выражены через натуральные числа и их отношения.

Ранняя пифагорейская математика была основана на так называемом "принципе соизмеримости". В соответствии с этим принципом любые две геометрические величины Q и V имеют общую меру, которая укладывается целое число раз в каждой из величин. Следовательно, они могут быть записаны в виде отношения двух взаимно простых натуральных чисел m и n:

(1)

Рассматривая отношение диагонали и стороны квадрата, которое обозначается как (Рис. 1) пифагорейцы пришли к противоречию.

Несоизмеримые отрезки
Рисунок 1. Несоизмеримые отрезки.

Действительно, предположим, что , где m и n взаимно простые числа. Но тогда m2 = 2n2. Отсюда следует, что число m2 является четным так же, как и само число m. Так как числа m и n являются взаимно простыми числами, число n является нечетным в соответствии с (1). Однако, если m четно, то число m2 делится на 4 и, следовательно, число n2 является четным. Таким образом, число n также является четным. Но число n не может быть четным и нечетным одновременно! Это противоречивый вывод показывает, что наше предположение о соизмеримости диагонали и стороны квадрата является ложным и, следовательно, отношение является иррациональным числом.

Открытие несоизмеримости шокировало пифагорейцев и вызвало первый кризис в основаниях математики, потому что это открытие опровергало главную философскую доктрину пифагорейцев. Заметим, что открытие иррациональных чисел порождало сложное математическое понятие, не имеющее связи с человеческой практикой.

Согласно легенде в честь этого открытия Пифагор совершил "гекатомбу", то есть принес в жертву богам 100 быков. Это открытие было достойно такого жертвоприношения, так как оно стало "поворотным пунктом" в развитии математики. Оно разрушило раннюю систему, созданную пифагорейцами ("принцип соизмеримости") и породило ряд новых и плодотворных теорий.

Важность этого открытия может быть сравнена с открытием неевклидовой геометрии в начале 19-го века или теории относительности в начале 20-го века. Подобно этим теориям "проблема несоизмеримости" стала хорошо известна для образованных людей того времени. Платон и Аристотель хорошо знали и обсуждали эту проблему.

Аксиомы Евдокса-Архимеда и Кантора

Для преодоления первого кризиса в основании математики знаменитый геометр Евдокс предложил "метод исчерпывания" и на его основе создал теорию измерения величин. Существо "метода исчерпывания" можно объяснить с помощью следующего практического примера. Если мы имеем "бочку пива" и "пивную кружку", тогда "бочка пива" будет рано или поздно "исчерпана" "пивной кружкой", какой бы огромной не была "бочка пива" и какой бы малой не была "пивная кружка".

Теория несоизмеримости Евдокса (смотри 5-ю книгу "Начал Евклида") рассматривается как одно из величайших достижений математики за всю историю ее развития и в основном совпадает с современной теорией иррациональных чисел, предложенной Дедекиндом в 1872 году.

Теория измерения геометрических величин, восходящая к "несоизмеримым отрезкам", основывается на группе аксиом, называемых "аксиомами непрерывности", которые включают в себя аксиомы Евдокса-Архимеда и Кантора или аксиому Дедекинда.

Аксиома Евлокса-Архимеда ("аксиома измерения"): Для любых двух отрезков A и B (Рис. 2) можно найти такое натуральное число n, чтобы

nB > A.(2)

Аксиома Евдокса-Архимеда

Аксиома Кантора
Рисунок 2. Аксиома Евдокса-Архимеда.Рисунок 3. Аксиома Кантора.

Аксиома Кантора (о "стягивающихся отрезках"): Если задана бесконечная последовательность отрезков A0B0, A1B1, A2B2, ... , AnBn, ... (Рис. 3), "вложенных" друг в друга, то есть каждый отрезок являются частью предыдущего, тогда существует по крайней мере одна точка C, общая для всех отрезков.

Главным результатом теории геометрических величин является доказательство существования и единственности решения q "основного уравнения измерения":

Q = qV,(3)

где V есть единица измерения; Q - измеряемая величина и q - результат измерения.

Трудно представить, что формулировка "аксиом непрерывности" и создание математической теории измерения было результатом более чем 2000-летнего периода в развитии математики. "Аксиомы непрерывности" и "основное уравнение измерения" (3) включают в себя ряд крупных математических идей, оказавших влияние на формирование и развитие различных частей математики.

Необходимо отметить, что "аксиома измерения" является отражением "метода исчерпывания" Евдокса в современной математике. Аксиома обобщает тысячелетний опыт человечества по измерению расстояний, площадей и временных интервалов. Она является сжатым представлением простейшего алгоритма измерения отрезка A с помощью отрезка B меньшего, чем A. Этот алгоритм состоит в последовательном откладывании отрезка B на A и подсчете числа отрезков B, укладывающихся на отрезке A. И этот алгоритм называется "алгоритмом счета".

"Алгоритм счета" является основой многих фундаментальных понятий арифметики и теории чисел, в частности понятий натурального числа (n' = n + 1), простого и составного числа, а также понятий умножения, деления и др. В этой связи огромный интерес представляют евклидовы определения простого (или "первого") и составного числа ("первое число измеряется только единицей", "составное число измеряется другим числом".

"Аксиома измерения" порождает "теорему деления", которая играет фундаментальную роль в теории чисел. На ней основываются "теория делимости" и "теория сравнений".

Необходимо также отметить, что сам предмет классической теории чисел, которая "изучает общие теоремы натуральных чисел 1, 2, 3, ... традиционной арифметики", также происходит из "алгоритма счета", который генерирует как сами натуральные числа, так и все теории, связанные с ними.