Пифограммы Фибоначчи

Основы теории пифограмм для натуральных чисел

Обычно мы рассматриваем "Натуральные Числа" в форме монотонно возрастающего одномерного (1D) ряда:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... .(1)

Перепишем последовательность (1) в следующем двумерном (2D) виде:

12345
678910
1112131415
1617181920
21222324...

Рис. 1. 2D-запись "Натуральных Чисел".

Мы будем называть таблицу на Рис. 1, представляющую последовательность натуральных чисел (1), "2D-записью натуральных чисел" или "Пифограммой". Последнее название связано с фактом, что "Великий Пифагор" использовал такое представление натуральных чисел. Очевидно, что число строк в "2D-записи" (Рис.1) бесконечно.

Заметим, что мы выбрали пять столбцов в "пифорамме" на Рис. 1 для представления натуральных чисел. Число столбцов в "пифограмме" называется "модулем" пифограммы. Очевидно, мы можем сконструировать бесконечное число "пифограмм" для натуральных чисел, изменяя их "модули".

CCG-метод Александра Зенкина

Великий немецкий математик Готфрид Лейбниц предполагал, что "полезность рисунков состоит в том, что они стимулируют мысль". Современные компьютерные технологии открывают уникальные возможности именно для стимулирования нетрадиционного и нестандартного математического мышления. Русский математик Александр Зенкин развил новый компьютерный метод математического исследования, названный им "Методом Когнитивной Компьютерной Графикик" или (CCG-методом) (см. книгу Александра Зенкина "Когнитивная Компьютерная Графика. Приложения в теории чисел". Москва: Наука, 1991 г.).

Используя CCG-метод для исследования "пифограмм", он получил ряд неожиданных CCG-открытий. Одно из них состоит в следующем.

Рассмотрим некоторое свойство "натуральных чисел", например "быть квадратом натурального числа"; тогда мы получим следующую числовую последовательность:

1, 4, 9, 16, 25, ... .(2)

Представим "пифорамму" на Рис.1 в цветной форме, когда квадраты натуральных чисел отмечаются черным цветом, а все остальные натуральные числа - желтым цветом.

Пифограмма для квадратов натуральных чисел

Рис. 2. Пифограмма для квадратов натуральных чисел.

Исследуя "пифорграммы" для квадратов натуральных чисел, (смотри http://www.com2com.ru/alexzen/papers/vgeom/vgeom.html), Александр Зенкин пришел к неожиданным математическим результатам. Увеличивая длину "модуля" пифограммы и используя компьютерное моделирование, он показал, что распределение квадратов натуральных чисел сводится к новой волновым функциям, называемым "параболическими солитонами" и используемыми широко в современной физике.

Параболические солитоны

Рис. 3. "Параболические солитоны".

Оценивая свое математическое открытие, Александр Зенкин пишет:

"Но только CCG-метод позволил увидеть впервые это фантастическое преобразование! Действительно, хорошо известная ОДНА, но бесконечная парабола трансформируется в БЕСКОНЕЧНОЕ СЕМЕЙСТВО КОНЕЧНЫХ ПАРАБОЛ! Такое преобразование неизвестно в современной математике, и оно выявляет некоторые аспекты вечной философской проблемы о связи Конечного и Бесконечного".

Математическое открытие художника Александра Панкина

В 1999 г. известный русский художник Александр Панкин использовал CCG-метод для исследования чисел Фибоначчи:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... ,(3)

и получил следующий визуальный факт (см. Рис. 3):

"Тройки чисел Фибоначчи (21, 13, 5), (34, 21, 8), и (55, 34, 13) образуют прямые линии, и тройки чисел Фибоначчи (3, 8, 13), (5, 13, 21), и (8, 21, 34) располагаются в одном столбце".

'Пифограммы' чисел Фибоначчи с модулями, равными числам Фибоначчи 5, 8, 13 соответственно

Рис. 4. "Пифограммы" чисел Фибоначчи с модулями, равными числам Фибоначчи 5, 8, 13 соответственно.

Александр Зенкин доказал, что эта гипотеза верна для произвольной тройки чисел Фибоначчи (Fn, Fn+2, Fn+3), если в качестве "модуля" пифограммы выбрать число Фибоначчи Fn. В общем он доказал следующее весьма неожиданное утверждение.

Теорема Зенкина (1999).. Любые семь последовательных чисел Фибоначчи {F1+k, F2+k, F3+k, F4+k, F5+k, F6+k, F7+k} "генерируют" (в 2D-пифограмме по модулю F4+k) прямоугольный треугольник с гипотенузой {F4+k, F6+k, F7+k}, сторонами треугольника {F1+k, F2+k, F3+k, F4+k} и {F1+k, F7+k}, и медианой {F3+k, F5+k, F6+k}, где k - целое число, принимающее значение из множества (k = 0, 1, 2, 3, ...).

Три пифограммы на Рис. 3 соответствуют значениям k = 0, 1, 2.

Более полную информацию можно получить на сайте: http://www.com2com.ru/alexzen/.

"Пифограммы" для p-чисел Фибоначчи

Недавно по нашей просьбе Александр Зенкин построил "пифограммы" для p-чисел Фибоначчи (см. наше определение этих чисел на сайте http://www.goldenmuseum.com/) и показал, что эти пифограммы имеют строгие закономерности. Рассмотрим два случая значения p (p = 2 и p = 3).

Для случая p = 2 мы имеем следующую числовую последовательность:

1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88, ...(4)

Если мы возьмем 2-числа Фибоначчи 9, 13, 19 в качестве "модулей" пифограмм, мы получим следующие "пифограммы" для 2-чисел Фибоначчи (см. Рис. 5).

p = 2
Рис. 5. "Пифограммы" для 2-чисел Фибоначчи с "модулями" 9, 13, 19.

Анализ "пифограмм" на Рис. 5 показывает, что 9 последовательных 2-числа Фибоначчи:

1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28 - для "модуля" 9;

2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41 - для "модуля" 13;

3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41 - для модуля 19,

всегда имеют некоторое регулярное расположение на соответствующих "пифограммах" (см. контуры голубого цвета).

Для случая p = 3 мы имеем следующую числовую последовательность, называемую 3-числами Фибоначчи:

1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 14, 19, 26, 36, 50, 69, ...(5)

Если мы возьмем 3-числа Фибоначчи 7, 10, 14, 19 в качестве "модулей", мы получим следующие "пифограммы" для 3-чисел Фибоначчи (см. Рис. 6).

p = 3
Рис. 6. "Пифограммы" для 3-чисел Фибоначчи с модулями 7, 10, 14, 19.

Анализ пифограмм на Рис. 5 показывает, что 8 последовательных 3-числа Фибоначчи:

3, 4, 5, 7, 10, 14, 19, 26 - для "модуля" 7;

4, 5, 7, 10, 14, 19, 26, 36 - для "модуля" 10;

5, 7, 10, 14, 19, 26, 36, 50 - для "модуля" 14;

7, 10, 14, 19, 26, 36, 50, 69 - для "модуля" 19,

всегда имеют регулярное расположение на соответствующей "пифограмме" (см. контуры голубого цвета).

Заключение

Таким образом, CCG-метод, предложенный А. Зенкиным дает нам приятную возможность обнаружить новые неожиданные свойства классических чисел Фибоначчи (3) и их обобщения, p-чисел Фибоначчи, которые являются частью "Натуральных Чисел". И мы верим, что великий Леопольд Кронекер был прав тысячу раз, когда сказал:

"Бог создал Натуральные Числа, все остальное - дело рук Человека".

А великий Генри Пуанкаре выразил эту мысль в следующих словах:

"Вся Математика может быть получена из концепции Натурального Числа".