Гиперболические функции Фибоначчи и Люка

Вспомним определение гиперболических функций, гиперболического синуса

(1)

и гиперболического косинуса

(2)

Вспомним также определение формул Бине - для чисел Фибоначчи

(3)
(4)

и для чисел Люка

(5)
(6)

где k = 0, ±1, ±2, ±3, ... .

Формулы (3)-(6) были доказаны французским математиком 19-го столетия Бине, но они настолько великолепны с математической точки зрения, что они до сих пор вызывают чувство огромного восхищения и глубокого уважения.

Жак Филлип Мари Бине (1786-1856)
Жак Филлип Мари Бине (1786-1856)

Действительно, невозможно предположить, что целые числа (числа Фибоначчи и Люка) могут быть представлены как сумма или разность двух иррациональных чисел (степеней золотой пропорции) - для чисел Люка или как сумма или разность тех же двух иррациональных чисел, деленных иррациональным числом . Но формулы Бине (3)-(6) показывают, что это возможно для всех чисел Фибоначчи и Люка.

А сейчас сравним формулы (3)-(6) с гиперболическим функциями (1) и (2). Мы можем видеть, что формулы (3) и (5) подобны гиперболическому синусу (1), а формулы (4) и (6) подобны гиперболическому косинусу (2). Определенная внешняя схожесть формул Бине (3) - (6) с классическими гиперболическими функциями (1), (2) есть основа для определения гиперболических функций Фибоначчи и Люка. С этой целью мы заменим дискретную переменную k в формулах (3) - (6) на непрерывную переменную x и введем следующие непрерывные функции:

(1) Фибоначчиевый гиперболический синус
(7)

(2) Фибоначчиевый гиперболический косинус
(8)

(3) Люковый гиперболический синус
(9)

(4) Люковый гиперболический косинус
(10)

Заметим, что для дискретных значений x = k фибоначчиевые и люковые гиперболические функции совпадают с числами Фибоначчи и числами Люка, то есть

sFk = F2k;   cFx = F2k+1;   sLx = L2k+1;   cLx = L2k.(11)

Возможно, украинские ученые А.П. Стахов и И.С. Ткаченко были первыми учеными, которые пришли к идее гиперболических функций Фибоначчи и Люка. Теория нового класса гиперболических функций была изложена в их статье "Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи", опубликованной в "Докладах Украинской Академии Наук" (1993, Т. 208, № 7), и рекомендацию на публикацию этой статьи дал выдающийся украинский математик академик Юрий Митропольский.

Юрий Алексеевич Митропольский (род. 1917 г.)
Юрий Алексеевич Митропольский (род. 1917 г.)

Таким образом, основной результат, вытекающий из наших очень простых рассуждений, состоит во введении новых классов элементарных функций, класса фибоначчиевых гиперболических функций и класса люковых гиперболических функций. Эти функции очень похожи на классические гиперболические функции, но отличаются от них одной особенностью. В отличие от классических гиперболических функций новые гиперболические функции имеют числовой аналог, числа Фибоначчи - для фибоначчиевых гиперболических функций и числа Люка - для люковых гиперболических функций.

Какое же значение имеют новые классы гиперболических функций для науки и, в частности, для математики?

Начнем с теории чисел Фибоначчи. До этих пор теория чисел Фибоначчи развивалась как дискретная теория, потому что числа Фибоначчи и числа Люка являются частью целых чисел и их множество дискретно. Но гиперболические функции Фибоначчи и Люка являются "непрерывными" математическими объектами и для исследования этих функций мы можем использовать методы "непрерывной" математики. Но каждое тождество для фибоначчиевых и люковых гиперболических функций имеет "фибоначчиевую" интерпретацию, основанную на (11). Такой подход позволяет нам развивать теорию чисел Фибоначчи как "непрерывную" теорию.

Однако новая теория филлотаксиса, развитая украинским ученым Олегом Боднаром, является наилучшим свидетельством эффективности фибоначчиевых и люковых функций для моделирования процессов в живой природе. Эта теория изложена в его книге "Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве" (1994).

О. Боднар 'Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве' (1994)

Используя фибоначчиевые гиперболические функции, Боднар доказал, что появление чисел Фибоначчи на поверхности филлотаксисных объектов является следствием гиперболического процесса роста этих объектов. Но живой мир использует фибоначчиевые гиперболические функции для конструирования своих объектов - и этот фундаментальный факт подтверждается "законами филлотаксиса", основанными на числах Фибоначчи.

Следуйте за нами! Мы расскажем вам об открытии Боднара на соответствующей странице нашего Музея!