Классические гиперболические функции

Из средней школы мы хорошо знаем тригонометрические функции, а именно синус, косинус и производные от них тангенс, котангенс и другие. Однако не все знают, что существуют еще так называемые гиперболические функции, а именно гиперболический синус, гиперболический косинус и другие. Тригонометрические и гиперболические функции вместе с некоторыми другими функциями образуют очень важный класс элементарных функций, которые очень широко используются в математике.

На этой странице нашего Музея мы попытаемся рассказать о гиперболических функциях и их значении для развития естествознания.

Начнем с определения гиперболических функций. В отличие от тригонометрических функций, которые не имеют определения в аналитической форме, гиперболические функции могут быть представлены в следующем виде:

(1) Гиперболический синус

(2) Гиперболический косинус

где число e - одна из важнейших математических констант математики (основание натуральных логарифмов).

По аналогии с тригонометрическими функциями можно определить следующие гиперболические функции:

(3) Гиперболический тангенс

(4) Гиперболический котангенс

Заметим, что графически гиперболические функции shx, chx и thx могут быть представлены следующим образом:

Существует очень глубокая аналогия между тригонометрическими и гиперболическими функциями. Например, хорошо известны следующие формулы, связывающие тригонометрические функции:



Однако подобные формулы существуют и для гиперболических функций:



Гиперболические функции очень широко используются для моделирования природных явлений. Рассмотрим два важных примера. Николай Лобачевский использовал гиперболические функции в своей неевклидовой геометрии и поэтому геометрию Лобачевского называется также гиперболической геометрией.Известный математик Герман Минковский использовал основные соотношения для гиперболических функций для весьма интересной геометрической интерпретации теории относительности Эйнштейна ("четырехмерный мир Минковского").

Николай Лобачевский (1792-1856)Герман Минковский (1864-1909)
Николай Лобачевский (1792-1856)Герман Минковский (1864-1909)

Мы можем узнать более детально о гиперболических функциях, прочитав брошюру "Гиперболические функции" (1958), написанную русским математиком В.Г. Шерватовым.

Но почему мы рассказываем о гиперболических функциях? Какова связь предмета нашего Музея, то есть чисел Фибоначчи и золотого сечения, с гиперболическими функциями. Позже мы покажем, что эта связь имеет очень глубокий и фундаментальный характер. Следуйте за нами!