Обобщенные золотые сечения

Мы знаем из предыдущих страниц нашего Музея, что числа Фибоначчи тесно связаны с золотой пропорцией. В частности, предел отношения Fn/Fn-1 стремится к золотой пропорции.

Рассмотрим предел отношения соседних p-чисел Фибоначчи при . С этой целью введем следующее определение:

(1)

Представим теперь отношение соседних p-чисел Фибоначчи в следующем виде:

(2)

Принимая во внимание определение (1) для можно заменить выражение (2) следующим алгебраическим уравнением:

xp+1 = xp + 1.(3)

Обозначим через tp действительный корень алгебраического уравнения (3). Исследуем теперь уравнение (3) для различных значений p. Для p = 0 уравнение (3) вырождается в тривиальное уравнение x = 2. Для p = 1 уравнение (3) сводится к алгебраическому уравнению золотой пропорции:

x2 = x + 1.(4)

которое имеет действительный корень

Таким образом, уравнение (3) можно рассматривать как некоторое обобщение уравнения золотой пропорции (4). При этом уравнение имеет следующую "естественную" геометрическую интерпретацию (Рис. 1). Разделим oтрезок AB точкой C в следующем отношении:

,(5)

где p = 0, 1, 2, 3, ... .

Золотые p-сечения (p = 0, 1, 2, 3, ...)

Рисунок 1. Золотые p-сечения (p = 0, 1, 2, 3, ...).

Заметим, что пропорция (5) сводится к дихотомии для случая p = 0 (Рис.1-a) и к классическому золотому сечению для случая p = 1 (Рис. 1-b). Учитывая это обстоятельство, деление отрезка AB точкой C в отношении (5) было названо золотым p-сечением, а реальный корень уравнения (3) золотой p-пропорцией.

Следующее свойство золотой p-пропорции вытекает из алгебраического уравнения (3):

(6)

Для n = 1 тождество (6) принимает следующую форму:

(7)

Запишем тождество (7) в следующей форме:

(8)

Из (8) вытекает, что золотая p-пропорция преобразуется в число, инверсное p-й степени золотой p-пропорции при вычитании из нее 1.

Заметим, что для случая p = 0 мы имеем tp = 2 и тождество (6) сводится к следующему тривиальному тождеству для двоичных чисел:

2n = 2n-1 + 2n-1.

Для p = 1 мы имеем и тождество (6) сводится к следующему:

    Таким образом, в результате нашего исследования мы получили ряд небольших математических открытий:
  1. Мы показали, что существует фундаментальная связь между Треугольником Паскаля, числами Фибоначчи и золотым сечением!
  2. Но исследуя Треугольник Паскаля, мы обобщили классические числа Фибоначчи и классическое золотое сечение и ввели понятия обобщенных чисел Фибоначчи (p-чисел Фибоначчи), обобщенные золотые сечения (золотые p-сечения) и обобщенные золотые пропорции (золотые p-пропорции). Таким образом, мы раскрыли еще один секрет Треугольника Паскаля, который хранит в себе новый класс иррациональных чисел, золотые p-пропорции (p = 0, 1, 2, 3, ...).

И эти результаты призывают нас к новым открытиям! И мы попытаемся дать новое определение числа, основанное на понятии золотой p-пропорции, и создать новую математику, Математику Гармонии. И мы приглашаем вас следовать за нами!