Треугольник Паскаля

В нашей повседневной жизни мы широко используем раздел математики, называемый комбинаторным анализом. Этот раздел математики изучает так называемые конечные множества. Множество, состоящее из n элементов, называется n-элементным. Однако, мы можем выбрать k элементов из n-элементного множества. Каждая k-элементная часть n-элементного множества называется сочетанием из n элементов по k. Одна из задач комбинаторного анализа состоит в нахождении числа комбинаций из n элементов по k. Обычно это число обозначают через .

Вычислим теперь числа Начнем из числа . Но что означает 0-элементное множество? Это означает, что множество не имеет элементов. Такое множество называется "пустым" множеством. Ясно, что существует только одно сочетание из n элементов по 0, то есть = 1.

Рассмотрим множество, состоящее из 3 элементов: карандаша, пера и ластика. Вычислим числа для этого случая. Ясно, что = 1.

Вычислим теперь . Ясно, что существует только 3 1-элементных частей для этого случая, то есть = 3.

Для случая k = 2 также существует только 3 2-элемeнтные части, то есть = 3.

Наконец, для случая k = 3 существует только одна 3-элементная часть, то есть = 1.

Но как велико число всех возможных частей n-элементного множества. Для нашего примера мы имеем:

В комбинаторном анализе доказана следующая общая формула:

В математике числа называются биноминальными коэффициентами. Из средней школы нам хорошо известна так называемая биноминальная формула, которая имеет следующий вид:

(1)

где - биноминальные коэффициенты. Также формула (1) называется формулой Ньютона.

Ньютон, действительно, использовал эту формулу в своих математических исследованиях. Но исторически это название не является корректным, потому что формула (1) была известна арабским математикам задолго до Ньютона. Известный французский математик Блез Паскаль предложил очень простой способ вычисления биномиальных коэффициентов с использованием специальной таблицы чисел, называемой арифметическим квадратом или треугольником Паскаля.

Блез Паскаль

Рассмотрим так называемый прямоугольный Треугольник Паскаля, представляющий собой следующую таблицу чисел:

Строки треугольника Паскаля нумеруются сверху вниз. Биноминальные коэффициенты

образуют "нулевую" строку. Каждая n-я строка начинается с биноминального коэффициента = 1 (n =0, 1, 2, 3, ... ).

Столбцы треугольника Паскаля нумеруются слева направо; крайний левый столбец, состоящий из одного числа ( = 1), называется нулевым столбцом. Столбец с номером n включает следующие биномиальные коэффициенты:

где

Треугольник Паскаля основывается на следующем рекуррентном соотношении:

Рассмотрим Треугольник Паскаля, представленный в числовой форме.

1111111111
       123456789
       1361015212836
       141020355684
       15153570126
       162156126
       172884
       1836
       19
       1
1248163264128256512

Биномиальные коэффициенты и Треугольник Паскаля широко используются в различных разделах математики. Знаменитый математик Якоб Бернулли писал:

"Эта таблица имеет ряд чудесных свойств. Только что мы показали, что она составляет существо теории соединений, но те, кто тесно соприкасаются с геометрией, знают, что она хранит ряд фундаментальных секретов этой области математики".

Но возникает вопрос: какое отношение имеет Треугольник Паскаля к математическому предмету нашего Музея, то есть, к числам Фибоначчи и золотому сечению? На следующих страницах нашего Музея мы покажем, что существует глубокая связь между Треугольником Паскаля и числами Фибоначчи. Более того, Треугольник Паскаля играет очень важную роль для создания специальной математики, Математики Гармонии, которая предназначена для моделирования гармонических процессов в Природе. Следуйте за нами!