Пропорциональная схема золотого сечения

В теории архитектуры хорошо известна книга "Пропорциональность в архитектуре", опубликованная русским архитектором проф. Г.Д. Гриммом в 1935 г.

Г.Д. Гриммом 'Пропорциональность в архитектуре' 1935 г.

Цель книги сформулирована во "Введении" следующим образом:

"Ввиду исключительного значения золотого сечения в смысле такого пропорционального деления, которое устанавливает постоянную связь между целым и его частями, и дает постоянное между ними соотношение, недостигаемое никаким другим делением, схема, основанная на нем, выдвигается как нормативная на первое место и принята нами в дальнейшем как при проверке основ пропорциональности исторических памятников, так и современных сооружений...

Считаясь с этим общим значением золотого сечения во всех проявлениях архитектурной мысли, теорию пропорциональности, основанную на делении целого на пропорциональные части, отвечающие членам геометрической прогрессии золотого сечения, следует признать основой архитектурной пропорциональности вообще".

Гримм рассматривает золотое сечение отрезка AB точкой C на две неравные части - большую часть CB, называемую майором, и меньшую часть AC, называемую минором; при этом при делении большего отрезка АС золотым сечением меньший отрезок становится майором большего отрезка целого.

Вслед за Лукой Пачиоли, который сравнивал свойства золотого сечения со свойствами самого Бога, Г.Д. Гримм после тщательного исследования геометрических свойств золотого сечения подводит следующие "итоги исключительных свойств золотого сечения", которые выделяют его из числа всех других возможных делений отрезка и ставят его в этом отношении на первое место:

"1. Одно золотое сечение решает полностью задачу пропорционального деления целого на неравные части, заключающегося в достижении гармоничного между ними и с целым отношения путем деления целого на такие две неравные части, из которых меньшая часть так относилась бы к большей, как эта последняя к целому, и обратно - целое к большей своей части, как большая к меньшей.

2. Одно золотое сечение из всех возможных делений целого дает постоянное отношение между целым и его частями; только в нем от основной величины, - от целого находятся в полной зависимости оба предыдущих члена, причем отношение их между собою и с целым не случайное, а постоянное отношение, равное при всяком значении целого.

3. При делении целого золотым сечением на майор и минор, этот последний в свою очередь является большим отрезком вновь разделенного по золотому сечению первичного майор.

4. Деление по золотому сечению, один раз проделанное над основным целым, может быть продолжено путем откладывания каждый раз минор на майор и дает при этом непрерывный ряд золотых сечений производного порядка. Отношение же целого к любому члену производного его деления по золотому сечению равно соответствующей степени его майор.

5. Следствием п.4 является дополнительное свойство золотого сечения, по которому постепенное деление целого по золотому сечению (высших порядков) дает геометрически убывающую прогрессию со знаменателем и каждый член этой прогрессии находится в отношении золотого сечения к его предыдущему и к его последующему члену.

6. Майор основного отрезка есть минор нового целого, состоящего из первоначального целого, сложенного с его майор.

7. На основании п.5, прибавляя непрерывно к целому соответствующий ему майор, получаем геометрически возрастающую прогрессию со знаменателем .

8. Сумма двух последовательных членов прогрессии золотого сечения равна предыдущему члену.

9. Разница двух последовательных членов прогрессии золотого сечения равна последующему члену.

10. Все перестановки отдельных членов, которые допускаются для всякой непрерывной геометрической пропорции, допустимы и для деления по золотому сечению.

11. Каждые три непосредственно расположенные друг за другом отрезка относятся между собой как майор и минор.

12. Деление по золотому сечению как первичное, так и высших порядков дает наименьшее возможное число разных отношений между отрезками целого, деленного на неравные части, и дает наилегчайшее восприятие этих отношений.

13. Постоянное отношение деления по золотому сечению 0,618, выраженное со сравнительно незначительной погрешностью в приближенных целых малых числах 8:5, 5:3, 3:2 отвечает численным величинам консонансных интервалов октавы - уменьшенной сексты, сексты и квинты...

14. Производное деление целого по золотому сечению. Золотое сечение высших порядков дает приближенное значение оптимальных консонансных звуков октавы ...

В общем итоге приходится признать исключительно выдающееся свойство золотого сечения, которое не достигается ни среднеарифметическими пропорциями, ни тем более другими делениями целого".

Далее Г.Д. Гримм демонстрирует примеры линейной пропорциональности деления по золотому сечению (статуя Дорифора), анализирует пропорциональное согласование площадей прямоугольников, треугольников и кругов по золотому сечению, рассматривает спирали золотого сечения и, наконец, пропорциональное сочетание объемов кубов, параллелепипедов, треугольных призм и четырехгранных пирамид на основе золотого сечения. Эти исследования приводят к следующему заключению:

"Приведенный нами разбор значения золотого сечения и исключительных его свойств в смысле пропорциональности, а также теоретическое применение пропорциональной схемы золотого сечения для решения задач пропорционального деления, как линейных так и плоскостных и объемных масс целого, приводит к заключению, что для полной пропорциональной согласованности архитектурного памятника, представляющего собой во всяком случае объемное решение, требуется пропорциональное согласование прежде всего его линейных размеров по высотам и горизонталям, следствием чего и является пропорциональное решение фасадных площадей и далее всего объема".

Г.Д. Гримм подтверждает свои теоретические изыскания в области пропорциональной схемы золотого сечения архитектурными примерами из искусства классики (Парфенон, храм Юпитера в Дугге в Тунисе), памятниками Византийского искусства, итальянского Возрождения (Сан Пиетро ин Монторио в Риме, памятник Коллеони, собор Св. Петра в Риме).

Сан Пиетро ин Монторио в Риме (Браманте)
Рисунок 1. Сан Пиетро ин Монторио в Риме (Браманте).

На первый взгляд архитектура барокко существенно отличается от архитектуры классики и итальянского Возрождения и можно было бы ожидать отсутствие в этих памятниках золотого сечения. Проведя гармонический анализ Смольного собора в Санкт-Петербурге, который является одним из общепризнанных памятников этого стиля, Г.Д. Гримм делает заключение, "что отрыва от общей схемы золотого сечения в его пропорциях не замечается … Никаких сознательно внесенных диссонансов пропорциональности, помимо известного отхода от норм классики не усматривается и во всяком случае неоспоримо наличие золотого сечения в членениях основных масс собора".

Смольный собор в Санкт-Петербурге
Рисунок 2. Смольный собор в Санкт-Петербурге.

На примере готического собора в Ульме (Германия), постройка которого была начата в 1377 г. и закончена в 16-м веке, Гримм делает следующее заключение относительно готической архитектуры: "Во всяком случае, как в этом, так и в других зданиях, пропорционально проработанных по схеме триангуляции готики, удается проследить интуитивно внесенное в их отношения золотое сечение, без противоречия с их композиционными решениями".

Пропорциональные достижения русских зодчих, по мнению Г.Д. Гримма, "основаны на их интуиции, на их архитектурно-художественных исканиях". Тем не менее, в лучших памятниках и этой эпохи мы встречаем многократное применение отношений, отвечающих золотому сечению. В качестве примера такого архитектурного памятника Г.Д. Гримм приводит колокольню церкви Рождества Христова в Ярославле, в которой "как и в ряде других древнерусских памятников, усматривается весьма существенное согласование с золотым сечением в главных основных их массах, при целом ряде частичных от него отступлений".

Колокольня церкви Рождества Христова в Ярославле
Рисунок 3. Колокольня церкви Рождества Христова в Ярославле.

Хотя по поводу гармонических воззрений проф. Гримма не существует единого мнения, тем не менее, как сказано в предисловии редактора, "сама попытка общей формулировки принципа "золотого сечения" как основы пропорциональности архитектурных стилей, проверенная на материале античной и европейской архитектуры, заслуживает внимания, чтобы быть опубликованной, тем более, что в книге дается исторический очерк развития теории пропорциональности, а также развернутое математическое положение принципа "золотого сечения".