Икосаэдр как главный геометрический объект математики

Среди пяти "платоновых тел" икосаэдр и додекаэдр занимают особое место. В Платоновой космологии икосаэдр символизировал воду, а додекаэдр - гармонию Мироздания. Эти два "платоновых тела" непосредственно связаны с "пентаграммой", а через нее - с золотой пропорцией. Додекаэдр и икосаэдр образуют основу так называемой "додекаэдро-икосаэдрической" доктрины, которая пронизывает историю всей человеческой культуры, начиная от Пифагора, Платона и до наших дней.

И наверное, нельзя считать случайным, что эта доктрина получила неожиданное развитие в трудах выдающегося немецкого математика Феликса Клейна.

Феликс Клейн (1849-1925)
Феликс Клейн (1849-1925)

Феликс Клейн родился в 1849 г., а умер в 1925 г. В 1865 г. он поступает в Боннский университет. В 1872 г. Клейн работает в Эрлангене, с 1875 г. - профессор высшей технической школы в Мюнхене, с 1880 г. - профессор университета в Лейцпиге. В 1886 он переехал в Геттинген, где он возглавил математический институт Геттингенского университета, который на протяжении первой четверти 20-го века был признанным мировым математическим центром.

Основные работы Клейна посвящены неевклидовой геометрии, теории непрерывных групп, теории алгебраических уравнений, теории эллиптических функций, теории автоморфных функций. Свои идеи в области геометрии Клейн изложил в работе "Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований" (1872), известной под названием "Эрлангенская программа".

По Клейну, каждая геометрия является теорией инвариантов специальной группы преобразований. Расширяя или сужая группу, можно перейти от одного типа геометрии к другому. Евклидова геометрия - это наука об инвариантах метрической группы, проективная геометрия - об инвариантах проективной группы. Классификация групп преобразований дает нам классификацию геометрий. Существенным достижением Клейна является доказательство непротиворечивости неевклидовой геометрии.

На русский язык переведены многие книги Клейна: "Высшая геометрия" (1939 г.); "Элементарная математика с точки зрения высшей" (1934-1935 гг.); "Неевклидова геометрия" (1936 г.); "Лекции о развитии математики в 19 столетии" (1937 г.).

Значительное внимание Клейн уделял вопросам развития математики. В своей книге "Элементарная математика с точки зрения высшей" (1908 г.) он писал:

"Математика развивалась подобно дереву, которое разрастается не путем тончайших разветвлений, идущих от корней, а разбрасывает свои ветки и листья вширь, распространяя их зачастую вниз, к корням ... В основных исследованиях в области математики не может быть окончательного завершения, а вместе с тем и окончательно установленного первого начала ...".

Исследования Клейна касались также правильных многогранников. Этой проблеме посвящена его книга "Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени", опубликованная в 1984 г.

Хотя книга посвящена решению алгебраических уравнений 5-й степени, но основная идея книги значительно глубже и состоит в том, чтобы показать роль "платоновых тел", в частности икосаэдра, в развитии математической науки.

Согласно Ф. Клейну, ткань математики широко и свободно разбегается листами отдельных теорий. Но есть объекты, в которых сходятся несколько листов, - своеобразная точка ветвления. Их геометрия связывает листы и позволяет охватить общематематический смысл разных теорий. Именно таким математическим объектом, по мнению Клейна, является икосаэдр. Клейн трактует икосаэдр как математический объект, из которого расходятся ветви пяти математических теорий: геометрия, теория Галуа, теория групп, теория инвариантов и дифференциальные уравнения.

Таким образом, главная идея Клейна чрезвычайно проста: "каждый уникальный геометрический объект так или иначе связан со свойствами икосаэдра".

В чем же состоит значение идей выдающегося математика с точки зрения теории гармонии? Прежде всего, в качестве объекта, объединяющего "главные листы" математики выбрано "тело Платона" - икосаэдр, основанный на золотом сечении. Отсюда естественным образом вытекает мысль, что именно золотое сечение и является той главной геометрической идеей, которая, согласно Клейну, может объединить всю математику.

Современники Клейна не сумели по достоинству понять и оценить революционный характер "икосаэдрической" идеи Клейна. Ее значение было понято ровно через 100 лет, то есть только в 1984 г., когда израильский физик Дан Шехтман опубликовал заметку, подтверждающую существование специальных сплавов (названных квазикристаллами), обладающих так называемой "икосаэдрической" симметрией, то есть симметрией 5-го порядка, что строго запрещено классической кристаллографией.

Таким образом, еще в 19 в. гениальная интуиция Феликса Клейна привела его к мысли о том, что одна из древнейших геометрических фигур - икосаэдр - является главной геометрической фигурой математики. Тем самым Клейн в 19 в. вдохнул новую жизнь в развитие "додекаэдро-икосаэдрического представления" о структуре Вселенной, последователями которого были великие ученые и философы: Платон, построивший свою космологию на основе правильных многогранников, Евклид, посвятивший свои "Начала" изложению теории "Платоновых тел", Иоганн Кеплер, использовавший "Платоновы тела" в своей весьма оригинальной геометрической модели Солнечной системы, и многие другие.