Математические исследования Люка и Бине

В 19-м веке возрастает интерес к проблеме чисел Фибоначчи и золотому сечению в математике. Особенно заметными в этом отношении являются работы французских математиков Люка и Бине. В "Биографическом словаре деятелей в области математики" авторов А.И. Бородина и А.С. Бугая (1979 г.) мы находим краткую. Биографию Люка:

"Люка Франсуа Эдуард Анатоль (4.4.1842 - 8.10.1891) - французский математик, профессор. Родился в Амьене. Работал в лицее Лунле-Гран в Париже. Важнейшие работы Люка относятся к теории чисел и неопределенному анализу. В 1878 г. Люка дал критерий для определения того, простым или составным является число Мерсенна Мр = 2 р - 1. Применяя свой метод, Люка установил, что М127 = 2127 - 1 - простое число. В течение 75 лет это число оставалось наибольшим простым числом, известным науке. Он нашел 12-е совершенное число и составил ряд интересных задач. Люка считал, что с помощью машин или каких-либо приспособлений сложение удобнее производить в двоичной системе, чем в десятичной".

Дадим некоторые пояснения к научным результатам Люка. Хорошо известно, что простыми числами называются такие числа, которые не имеют других делителей кроме самого себя и единицы: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … . Уже пифагорейцам было известно, что простых чисел бесконечно много (доказательство этого утверждения содержится в "Началах Евклида"). Изучение простых чисел и выяснение их распределения в натуральном ряду чисел является весьма трудной задачей теории чисел. Поэтому научный результат, полученный Люка в области простых чисел, несомненно, принадлежал к разряду выдающихся математических достижений.

С исторической точки зрения большой интерес представляет тот факт, что Люка уже в 19-м столетии, то есть задолго до возникновения современных компьютеров, обратил внимание на технические преимущества двоичной системы счисления, то есть он почти на столетие предвосхитил Джона фон Неймана, выдающегося американского физика и математика, который отдал решительное предпочтение двоичной системе счисления при технической реализации электронных компьютеров ("Принципы Джона фон Неймана").

Но для нашего Музея наиболее важным является то обстоятельство, что именно Люка привлек внимание к замечательной числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..., которую он назвал числами Фибоначчи в честь автора этой последовательности Леонардо Пизано Фибоначчи, который ввел ее еще в 13-м веке, и тем самым обессмертил его имя. Люка также ввел понятие "обобщенных последовательностей Фибоначчи", под которыми понимается любая числовая последовательность, которая вычисляется по следующей рекуррентной формуле:

Gn = Gn-1 + Gn-2,(1)

но при различных начальных членах G1 и G2.

Например, последовательность чисел 3, 8, 11, 19, 30, 49, ... относится к классу "обобщенных чисел Фибоначчи".

Но главной числовой последовательностью типа (1), рассмотренной Люка, является последовательность чисел 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, … , которая задается с помощью рекуррентной формулы

Ln = Ln-1 + Ln-2,(2)

при начальных условиях L1 = 1 и L2 = 3.

В честь Люка эта последовательность чисел была названа "числами Люка". Заметим, что числа Люка имеют такое же значение для математики, как и классические числа Фибоначчи.

После Люка работы по числам Фибоначчи, по выражению одного математика, "начали размножаться как фибоначчиевые кролики" - и в этом состоит историческая заслуга Люка перед теорией чисел Фибоначчи!

О другом энтузиасте чисел Фибоначчи французском математике Бине (Jacques Philippe Marie Binet) мы имеем следующую информацию. Он родился 2 февраля 1776 г. в Ренье и умер 12 мая 1856 г. в Париже.

Бине Жак Филлип Мари

Бине поступил в Политехническую школу в Париже 22 ноября 1804 г. и после ее окончания в 1806 г. он работал в департаменте мостов и дорог французского правительства.

Он стал преподавателем Политехнической школы в 1807 г. через год стал ассистентом-профессором прикладного анализа и начертательной геометрии.

Бине исследовал основания теории матриц и его работы в этом направлении были затем продолжены другими исследователями. Он открыл в 1812 г. правило умножения матриц и уже это открытие прославило его имя больше, чем другие работы.

Кроме математики Бине работал и в других областях. Им опубликовано много статей по механике, математике и астрономии. В математике Бине ввел термин "бэта-функция"; рассмотрел линейные разностные уравнения с переменными коэффициентами, установил некоторые метрические свойства сопряженных диаметров и др.

Среди различных почестей, которых Бине был удостоен еще при жизни, следует упомянуть, что в 1843 г. он был выбран в Парижскую академию наук.

Наиболее интересным для нашего Музея является тот факт, что Бине увлекался линейными разностными уравнениями, частным случаем которого является рекуррентное отношение Фибоначчи. По-видимому, именно это увлечение привело его к знаменитым формулам Бине, которые устанавливают связь чисел Фибоначчи и Люка с золотой пропорцией. Напомним, что под формулами Бине в математике понимается следующая группа формул:

(3)
(4)

где Ln и Fn - соответственно числа Люка и числа Фибоначчи, - золотая пропорция.

Что означают формулы (3), (4)? Формула (3) означает, что n-е число Люка Ln может быть представлено либо как сумма степеней золотой пропорции tn + t -n для четных значений n = 2k, либо как разность tn - t -n, если n = 2k + 1. Формула (4) утверждает, что для представления n-го числа Фибоначчи Fn надо сделать то же самое, то есть вычислить сумму tn + t -n для нечетных значений n = 2k + 1 или разность tn - t -n, если n = 2k, и затем разделить их на иррациональное число .

Исследования Люка и Бине стали той стартовой площадкой, с которой во второй половине 20-го века начала свое победное шествие в математике Фибоначчи Ассоциация, организованная группой американских математиков в 1963 г. О деятельности Фибоначчи Ассоциации мы расскажем на следующих страничках нашего Музея. Следуйте за нами!