Что такое симметрия?

Еще одним фундаментальным понятием науки, которое наряду с понятием "гармонии" имеет отношение практически ко всем структурам природы, науки и искусства, является "симметрия".

Выдающийся математик Герман Вейль высоко оценил роль симметрии в современной науке:

"Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство".

Что же такое "симметрия"? Когда мы смотрим в зеркало, мы наблюдаем в нем свое отражение - это пример "зеркальной" симметрии. Зеркальное отражение - это пример так называемого "ортогонального" преобразования, изменяющего ориентацию.

В наиболее общем виде под "симметрией" в математике понимается такое преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка M переходит в другую точку M' относительно некоторой плоскости (или прямой) a, когда отрезок MM' является перпендикулярным плоскости (или прямой) a и делится ею пополам. Плоскость (прямая) a называется при этом плоскостью (или осью) симметрии.

К фундаментальным понятиям симметрии относятся плоскость симметрии, ось симметрии, центр симметрии. Плоскостью симметрии P называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга так, как предмет и его зеркальное отражение. Например, изображенный на Рис.1 слева равнобедренный треугольник ABC высотой BD разделяется на две зеркально равные половины ABD и BCD; при этом высота BD является "следом" плоскости симметрии P, перпендикулярной плоскости треугольника. На рис. 1 справа изображен также прямоугольный параллелепипед (кирпичик, спичечный коробок), который имеет три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии 3P. Нетрудно установить, что куб обладает девятью плоскостями симметрии - 9P.

Симметрия треугольника и 'кирпичика'
Рисунок 1. Симметрия треугольника и "кирпичика".

Осью симметрии L называется такая прямая линия, вокруг которой симметричная фигура может быть повернута несколько раз таким образом, что каждый раз фигура "самосовмещается" сама с собой в пространстве. Число таких поворотов вокруг оси симметрии называется порядком оси. Например, равносторонний треугольник имеет ось симметрии L3, то есть существуют три способа поворота треугольника вокруг оси, при котором происходит его "самосовмещение". Ясно, что квадрат имеет ось симметрии L4, а пентагон - L5. Конус также имеет ось симметрии, причем, поскольку число поворотов конуса вокруг своей оси симметрии, приводящих к "самосовмещению" бесконечно, то говорят, что конус имеет ось симметрии типа .

Наконец, центром симметрии C называется такая особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая проведенная через точку прямая по обе стороны от нее и на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры. "Идеальным" примером такой фигуры является шар, центр которого и является его центром симметрии.

Симметрия широко встречается в объектах живой и неживой природы. Например, симметрия в химии отражается в геометрической конфигурации молекул. Так, например, молекула метана СH4 обладает симметрией тетраэдра. Понятие "симметрии" является центральным при исследовании кристаллов. При этом симметрия внешних форм кристаллов определяется симметрией его атомного строения, которая обуславливает и симметрию физических свойств кристалла.

Особенно широко понятие "симметрии" применительно к физическим законам используется в современной физике. Если законы, устанавливающие соотношения между величинами или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определенных операциях (преобразованиях), которым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают симметрией (или инвариантны) относительно данных преобразований. Например, закон тяготения действует в любой точки пространства, то есть он является инвариантным по отношению переноса системы как целого в пространстве.

По мнению, ученого-энциклопедиста академика В.И. Вернадского, "симметрия ... охватывает свойства всех полей, с которыми имеет дело физик и химик".

На явление симметрии в живой природе обратили внимание еще пифагорейцы в связи с развитием ими учения о гармонии. Установлено, что в природе наиболее распространены два вида симметрии - "зеркальная" и "лучевая" (или "радиальная") симметрии. "Зеркальной" симметрией обладает бабочка, листок или жук (Рис.2-а) и часто такой вид симметрии называется "симметрией листка" или "билатеральной симметрией". К формам с лучевой симметрией относятся гриб, ромашка, сосновое дерево (Рис.2-б) и часто такой вид симметрии называется "ромашко-грибной" симметрией.

Природные формы с 'билатеральной' и 'радиальной' симметрией
Рисунок 2. Природные формы с "билатеральной" (а) и "радиальной" (b) симметрией.

Еще в 19-м веке исследования в этой области привели к заключению, что симметрия природных форм в значительной степени зависит от влияния сил земного тяготения, которое в каждой точке имеет симметрию конуса. В результате был найден следующий закон, которому подчиняются формы природных тел:

"Все то, что растет или движется по вертикали, то есть вверх или вниз относительно земной поверхности, подчиняется радиально-лучевой ("ромашко-грибной") симметрии. Все то, что растет и движется горизонтально или наклонно по отношению к земной поверхности, подчиняется билатеральной симметрии - "симметрии листка" (одна плоскость симметрии)".

Принцип "симметрии" широко используется в искусстве. Бордюры, используемые в архитектурных и скульптурных произведениях, орнаменты, используемы в прикладном искусстве, - все это примеры использования симметрии.

Принцип симметрии очень часто используется совместно с принципом "золотого сечения". Таким примером может служить картина Рафаэля "Обручение Марии" (Рис. 3).

Гармонический анализ картины Рафаэля 'Обручение Марии'
Рисунок 3. Гармонический анализ картины Рафаэля "Обручение Марии".

В современной науке интерес к симметрии и ее проявлениям во всевозможных областях природы, науки и искусства исключительно возрос и отражением этого интереса стало учреждение в 1989 г. Международного общества для междисциплинарного изучения симметрии (ISIS-Symmetry), что "стало началом значительного интеллектуального движения".