Золотые спирали

Спираль - это плоская линия, образованная движущейся точкой, которая удаляется по определенному закону от начала луча, равномерно вращающегося вокруг своего начала. Если начало спирали выбрать за полюс полярной системы координат, то математически спираль может быть представлена с помощью некоторого полярного уравнения r = f(j), где r - радиус-вектор спирали, j - угол, откладываемый на полярной оси, f(j) - некоторая монотонно возрастающая или убывающая положительная функция.

Если точка удаляется от начала равномерно (r = аj), то получается спираль Архимеда. Если же точка удаляется по экспоненциальному закону (r = aemj, где a - произвольное положительное число), то получается логарифмическая спираль (Рис.1).

Логарифмическая спираль
Рисунок 1. Логарифмическая спираль.

Логарифмическая спираль обладает рядом интересных свойств:

  1. В логарифмической спирали отрезки OA, OB, OC, OD, ... образуют геометрическую прогрессию, то есть


    где m - знаменатель прогрессии.
  2. Радиус-вектор и касательная к нему в любой точке логарифмической спирали образуют постоянный угол b, то есть кривая пересекает все лучи, выходящие из полюса O под одним и тем же углом.
  3. Логарифмическая спираль вырождается соответственно в прямую линию и окружность при значениях углов b = 0 и b = 90°. Замечательным является тот факт, что спираль имеет свойства, как прямой линии, так и окружности.

Всякая логарифмическая спираль представляет собой схему роста или возрастания и может быть выражена геометрической прогрессией. При этом особое значение имеет "золотая" логарифмическая спираль, в которой члены геометрической прогрессии, соответствующей спирали, являются степенями золотой пропорции {tn}(n = 0, ±1, ±2, ±3, ...). Такая спираль обладает свойством быть одновременно геометрической и арифметической прогрессией, то есть экспоненциальный рост в ней обеспечивается путем простого сложения двух соседних элементов. По мнению многих исследователей, это замечательное свойство (возможность осуществления возрастания путем простого сложения) дало возможность объяснить многие явления и процессы в ботанике и биологии.

Заметим также, что "золотая" спираль естественным образом связана с "золотым" прямоугольником (Рис.2).

'Золотая' спираль
Рисунок 2. "Золотая" спираль.

Если в качестве начала спирали выбрать точку, к которой последовательно сходятся "золотые" прямоугольники, которые возникают при вычленении квадрата из текущего "золотого" прямоугольника, то "золотая" спираль проходит через три из четырех вершин каждого из последовательно построенных на Рис.2 "золотых" прямоугольников.