"Пентагон" и "пентаграмма"

Слово "пентагон" (от греческого "pentagonon" - пятиугольник) нам хорошо известно из названия здания военного ведомства США, которое в плане имеет форму правильного пятиугольника ("пентагона") (Рис. 1).

'Пентагон' или 'пентаграмма'
Рисунок 1. "Пентагон" или "пентаграмма".

Однако фигура на рис.1 имеет и другое название "пентаграмма" (от греческих слов "pentagrammon", "pente" - пять и "gramma" - линия), что означает правильный пятиугольник, на сторонах которого построены равнобедренные треугольники одинаковой высоты.

Диагонали "пентагона" образуют "пятиугольную звезду". Доказано, что точки пересечения диагоналей всегда являются точками "золотого сечения". При этом они образуют новый "пентагон" FGHKL. В новом "пентагоне" можно провести диагонали, пересечение которых образуют еще один "пентагон" и это процесс может быть продолжен до бесконечности. Таким образом, "пентагон" ABCDE как бы состоит из бесконечного числа "пентагонов", которые образуются точками пересечения диагоналей. Эта бесконечная повторяемость одной и той же геометрической фигуры создает чувство ритма и гармонии, которое неосознанно фиксируется нашим разумом.

В "пентаграмме" можно найти огромное количество отношений "золотой пропорции". Например, отношение диагонали "пентагона" к его стороне равно золотой пропорции.

Рассмотрим теперь последовательность отрезков FG, EF, EG, EB. Легко показать, что они связаны следующим отношением:

.

"Пентаграмма" всегда вызывала особое восхищение у пифагорейцев и считалась их главным опознавательным знаком. Существует следующая легенда. Когда на чужбине один из пифагорейцев лежал на смертном одре и не мог заплатить человеку, который за ним ухаживал, то он велел ему изобразить на своем жилище "пентаграмму", надеясь на то, что этот знак увидит кто-либо из пифагорейцев. И действительно, несколько лет спустя один пифагореец увидел этот знак, и хозяин дома получил богатое вознаграждение.

Пентаграмма на Рис.1 включает в себя ряд замечательных фигур, которые широко используются в произведениях искусства. В античном искусстве широко известен так называемый "закон золотой чаши" (Рис.2), который использовали античные скульпторы и золотых дел мастера. Заштрихованная часть "пентаграммы" на Рис.2 дает схематическое представление "золотой" чаши.

'Золотая' чаша 'Золотой' треугольник
Рисунок 2. "Золотая" чаша. Рисунок 3. "Золотой" треугольник.

"Пятиугольная звезда", входящая в "пентаграмму", состоит из пяти равносторонних "золотых" треугольников, каждый из которых напоминает букву "А" ("пять пересекающихся А") (Рис.3).

Каждый "золотой" треугольник имеет острый угол A = 36° при вершине и два острых угла D = C = 72° при основании треугольника. Основная особенность "золотого" треугольника состоит в том, что отношение каждого бедра AC = AD к основанию DC равно золотой пропорции t. Исследуя "пентаграмму" и "золотой" треугольник, пифагорейцы были восхищены, когда обнаружили, что биссектриса DH совпадает с диагональю DB "пентагона" (Рис.1) и делит сторону AC в точке H золотым сечением (Рис.3). При этом возникает новый "золотой" треугольник DHC. Если теперь провести биссектрису угла H к точке H' и продолжить этот процесс до бесконечности, то мы получим бесконечную последовательность "золотых" треугольников. Как и в случае с "золотым" прямоугольником и "пентаграммой" бесконечное возникновение одной и той же геометрической фигуры ("золотого" треугольника) после проведения очередной биссектрисы вызывает эстетическое чувство красоты и гармонии.