Декагон

Как известно, количество иррациональных (несоизмеримых) чисел бесконечно. Однако некоторые из них занимают особое место в истории математики, боле того - в истории материальной и духовной культуры человечества. Их значение состоит в том, что они выражают некоторые пропорции, отношения, имеющие универсальный характер и обнаруживающиеся в самых неожиданных местах.

Первое из них - это иррациональное число , равное отношению диагонали к стороне квадрата. С этим числом связано открытие так называемых "несоизмеримых отрезков" и история наиболее драматичного периода в античной математике, который привел к разработке теории иррациональностей и иррациональных чисел и в конечном итоге - к созданию современной "непрерывной" математики.

Следующие два иррациональных числа - это число p, выражающее отношение длины окружности к ее диаметру, и "неперово число" e, выражающее некоторые важные геометрические соотношения в гиперболе. Значение этих двух важнейших математических констант в математическом анализе состоит в том, что они "генерируют" главные классы "элементарных функций" (тригонометрические функции - число p, экспоненциальная функция ex, логарифмическая функция logex, наконец, гиперболические функции - число e). Между p и e, то есть между "двумя числами, господствующими над анализом", существует изящное соотношение:

где - мнимая единица, еще одно необычное творение математической мысли.

Золотая пропорция t также относится к разряду фундаментальных математических констант. Но тогда возникает вопрос: существует ли какая-либо связь между этими математическим константами, например между числами p и t? Ответ на этот вопрос дает анализ правильного многогранника, называемого "декагоном" (Рис.1).

Правильный десятиугольник ('декагон')
Рисунок 1. Правильный десятиугольник ("декагон").

Рассмотрим окружность радиусом R вместе с вписанным в окружность "декагоном" (Рис.1). Из геометрии известно, что сторона "декагона" a10 связана с радиусом R следующим соотношением:

a10 = 2R sin 18°. (1)

Если выполнить некоторые тригонометрические преобразования на основе формул, хорошо известных нам из курса школьной тригонометрии, то мы получим следующие результаты:

  1. Сторона правильного десятигранника, вписанного в круг радиуса R, равна большей части радиуса R, разделенного золотым сечением, то есть

    a10 = R/t.

  2. Золотая пропорция связана с числом p следующим соотношением:
t = 2 cos 36° = 2 cos. (2)

Эта формула, полученная в результате математического анализа геометрических пропорций "декагона", является еще одним свидетельством фундаментальности "золотой пропорции", которая наряду с числом p по праву может быть причислена к разряду важнейших математических констант.