Формулы Бине

Числа Фибоначчи и Люка связаны с золотой пропорцией с помощью удивительных математических формул, которые были выведены в 19-м столетии французским математиком Бине, о котором мы расскажем позже.

Однако подобно тому, как имя Фибоначчи связано с числами Фибоначчи, имя Бине в современной науке ассоциируется с замечательной математическими формулами, устанавливающими связь чисел Фибоначчи и Люка с "золотой пропорцией".

Для вывода "формул Бине" рассмотрим выражения для нулевой, первой и минус-первой степеней золотой пропорции:

и

Вспомним теперь, что степени золотой пропорции связаны друг с другом следующим тождеством:

(1)

Используя тождество (1), мы можем представить вторую, третью, четвертую степени золотой пропорции в "явной форме":



Можно ли усмотреть в этих формулах какую-то закономерность? Прежде всего заметим, что каждое выражение для степени золотой пропорции имеет одну и ту же форму:

Что же собой представляют числовые последовательности A и B в этих формулах? Нетрудно убедиться, что ряд чисел A представляет собой последовательность чисел 1, 3, 4, 7, ..., а ряд чисел B представляет собой последовательность чисел 1, 1, 2, 3, ... . Но первая последовательность представляет собой числа Люка, а вторая - числа Фибоначчи! Из этих примеров мы можем догадаться, что в общем виде формула, которая позволяет представить любую (n-ю) степень "золотой пропорции" с использованием числа Люка Ln и числа Фибоначчи Fn должна иметь следующий вид (и это, действительно, было доказано Бине еще в 19-м веке):

(2)

Заметим, что формула (2) справедлива для любого целого n.

Используя формулу (2), можно также очень просто выразить числа Люка Ln и числа Фибоначчи Fn через "золотую пропорцию". Для этого достаточно, используя (2), представить сумму или разность следующих степеней "золотой пропорции" tn + t-n и tn - t-n:

(3)
(4)

Рассмотрим теперь, во что вырождаются формулы (3) и (4) для четных значений числа n = 2k. Для этого вспомним одно чудесное свойство чисел Фибоначчи: для четных значений n числа Фибоначчи F2k и F-2k равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку, то есть F-2k = - F2k, а числа Люка L2k и L-2k для этого случая совпадают, то есть L-2k = L2k. Тогда для этого случая формулы (3), (4) принимают следующий вид:

(5)
(6)

Для нечетных значений n = 2k + 1 имеют место следующие соотношения для чисел Фибоначчи и Люка: F-2k-1 = F2k и L-2k-1 = L2k+1. Тогда для этого случая формулы (5), (6) сводятся к следующему:

(7)
(8)

Следующие замечательные выражения для чисел Люка и Фибоначчи вытекают непосредственно из формул (5)-(8):

(9)
(10)

Анализ формул (9), (10) дает нам возможность ощутить истинное "эстетическое наслаждение" и еще раз убедиться в мощи человеческого разума. Действительно, ведь мы знаем, что числа Фибоначчи и числа Люка всегда являются целыми числами. С другой стороны, любая степень "золотой пропорции" является иррациональным числом. Отсюда вытекает, что целые числа Ln и Fn с помощью формул (9), (10) выражаются через специальные иррациональные числа.

Например, число Люка 3 (n = 2) согласно (9) может быть представлено как

(11)

а число Фибоначчи 5 (n = 5) как

(12)

Для того, чтобы убедиться в справедливости выражения (11) достаточно вспомнить, что согласно (2) имеют место следующие представления:

и .

Если теперь подставить эти выражения в (11), то получим, что левая часть тождества (11) равняется ее правой части.

Для того, чтобы убедиться в справедливости выражения (12), достаточно вспомнить, что согласно (2) имеют место следующие представления:

и

Если теперь подставить эти выражения в (12), то получим следующее выражение для правой части (12):

откуда вытекает справедливость тождества (12).

Из этих рассуждений мы видим, что формулы Бине затрагивают некоторые глубокие теоретико-числовые проблемы, находящиеся на стыке целых (числа Фибоначчи и Люка) и иррациональных чисел ("золотая пропорция").

Таким образом, начав наши "вариации" с чисел Фибоначчи, мы затронули множество интересных вопросов, относящихся к алгебре и теории чисел. Разумеется, эти "вариации" далеко не исчерпывают все приложения чисел Фибоначчи. Продолжая рассматривать страницы нашего Музея, наш посетитель может в дальнейшем убедиться, как широка область приложений чисел Фибоначчи. Однако даже рассмотренных примеров достаточно, чтобы понять простую истину: подобно тому, как незатейливая мелодия таит в себе несравненно больше, чем кажется при первом прослушивании, простая математическая задача "о размножении кроликов" при всестороннем рассмотрении позволяет заглянуть в широкий круг актуальных проблем современной математики.