Вариации на тему Фибоначчи

Вариации на заданную тему - жанр хорошо известный в музыкальной литературе. Большим любителем этого жанра был Моцарт: в форме темы с вариациями написана, например, первая часть знаменитой моцартовской сонаты As-dur. Первая часть сонаты As-dur Бетховена также состоит из вариаций на одну тему. Отличительная особенность произведений вариационного жанра заключается в том, что они в большинстве случаев начинаются с одной несложной основной темы, претерпевающей в дальнейшем значительные изменения по темпу, настроению и характеру. Но сколь бы причудливыми не были вариации, у слушателей непременно должно создаваться впечатление, будто каждая из них является естественным развитием основной темы.

Последуем примеру музыкальной композиции такого рода и, выбрав простую математическую тему (последовательность чисел Фибоначчи), рассмотрим ее вместе с многочисленными вариациями.

Числа Люка

Фибоначчи не стал изучать математические свойства полученной им числовой последовательности

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... .(1)

Это за него сделали другие математики. Начиная с 19 в., математические работы, посвященные свойствам чисел Фибоначчи, по остроумному выражению одного математика "начали размножаться как фибоначчиевые кролики". Лидером этих исследований в 19-м веке стал французский математик Люка, о котором мы расскажем позже.

Заслуга Люка перед теорией чисел Фибоначчи состоит в том, что он впервые ввел само название "числа Фибоначчи" и кроме того ввел в рассмотрение так называемые обобщенные числа Фибоначчи, описываемые следующей рекуррентной формулой:

Gn = Gn-1 + Gn-2.(2)

В зависимости от начальных членов G1 , G2 рекуррентная формула (2) порождает бесконечное количество числовых последовательностей типа чисел Фибоначчи (1).

Из всех возможных последовательностей, порождаемых (2), наибольшее применение получили две числовые последовательности - числа Фибоначчи (1) и так называемые числа Люка Ln, которые задаются следующим рекуррентным соотношением

Ln = Ln-1 + Ln-2.(3)

при начальных значениях:

L1 = 1 и L2 = 2.(4)

Тогда, используя рекуррентную формулу (3) и начальные условия (4), мы можем вычислить числовую последовательность, называемую числами Люка:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, ... .(5)

Расширенные числа Фибоначчи и Люка

До сих пор мы рассматривали числа Фибоначчи Fn и числа Люка Ln , подразумевая, что их индексы n являются натуральными числами, то есть n = 1, 2, 3, ... . Оказывается, что они могут быть расширены в сторону отрицательных значений индексов n, то есть, когда индексы n принимают значения из множества: n = 0, -1, -2, -3, ... .

Расширенные таким образом числа Фибоначчи и Люка представлены в Таблице 1.

Таблица 1.

n 012345678910
Fn011235813213455
F-n01-12-35-813-2134-55
Ln213471118294776123
L-n2-13-47-1118-2947-76123

Как вытекает из Табл. 1, члены последовательностей Fn и Ln обладают рядом чудесных математических свойств. Например, для нечетных n = 2k + 1 члены последовательностей Fn и F-n совпадают, то есть F2k+1 = F-2k-1, а для четных n = 2k они противоположны по знаку, то есть: F2k = -F-2k. Что касается чисел Люка Ln, то здесь все наоборот, то есть L2k = L-2k; L2k+1 = -L-2k-1.

А теперь рассмотрим внимательно числовые последовательности Фибоначчи и Люка, задаваемые Табл.1. Рассмотрим, например, число Люка L4 = 7 и сравним его с последовательностью чисел Фибоначчи Fn. Нетрудно установить, что L4 = 7 = 2 + 5. Но 2 и 5 являются числами Фибоначчи F3 = 2 и F5 = 5.

Но может наше наблюдение является случайным совпадением? Продолжая исследование Табл. 1, мы получим, что 1 = 0 + 1, 3 = 1 + 2, 4 = 1 + 3, 7 = 2 + 5, 11 = 3 + 8, 18 = 5 + 13, 29 = 8 + 21 и т.д. Сравним теперь числовые последовательности L-n и F-n. Здесь мы находим то же самое, то есть: -1 = 0 + (-1), 3 = 1 + 2, -4 = (-1) + (-3) и т.д. Таким образом, мы установили, следующее удивительно простое математическое правило, связывающее числа Люка и Фибоначчи:

Ln = Fn-1 + Fn+1,

где индекс n принимает следующие значения: 0, ±1, ±2, ±3, ... .

Продолжая исследования Табл.1, можно также установить, что числа Люка и Фибоначчи связаны также и другими весьма интересными соотношениями, например:

Ln = Fn + 2Fn-1; Ln + Fn = 2Fn+1 и т.д.

Фундаментальное соотношение, связывающее три соседних числа Фибоначчи

Рассмотрим последовательность чисел Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... . Возьмем число Фибоначчи 5 и возведем его в квадрат, то есть: 52 = 25. Теперь возьмем произведение двух соседних чисел Фибоначчи 3 и 8, которые окружают число 5, то есть 3 ´ 8 = 24. Тогда мы можем записать:

52 - 3 ´ 8 = 1.

А теперь проделаем то же самое со следующим числом Фибоначчи 8, то есть сначала возведем его в квадрат 82= 64, после этого вычислим произведение двух соседних к 8 чисел Фибоначчи 5 и 13 (5 ´ 13 = 65) и затем вычтем из числа 64 число 65:

82 - 5 ´ 13 = -1.

Заметим, что полученная разность равна при этом (-1).

Далее имеем:

132 - 8 ´ 21 = 1,
212 - 13 ´ 34 = -1 и т.д.

Мы видим, что квадрат некоторого числа Фибоначчи Fn всегда отличается от произведения двух соседних чисел Фибоначчи Fn-1 и Fn+1, которые его окружают, на 1, причем знак этой единицы зависит от индекса n числа Фибоначчи Fn. Если индекс n является четным числом, то число 1 берется с минусом, а если нечетным, то с плюсом. Указанное свойство чисел Фибоначчи можно выразить в виде следующей математической формулы:

(6)

Эта удивительная формула вызывает благоговейный трепет, если представить себе, что она справедлива для любого значения n (напомним, что n может принимать любое значение для целого числа в пределах от -¥ до +¥), и истинное эстетическое наслаждение, потому что чередование +1 и -1 в выражении (6) при последовательном прохождении всех чисел Фибоначчи от -¥ до +¥ вызывает неосознанное чувство ритма и гармонии.