"Золотая" геометрическая прогрессия

Но еще большее "эстетическое наслаждение" мы получим, если мы выполним над тождеством

(1)

следующие преобразования. Умножим вначале все члены тождества (1) на "золотую пропорцию" t, а затем разделим их на t. В результате получим два новых тождества:

(2)
или
(3)

Если теперь продолжать умножать тождество (2) на t, а тождество (3) делить на t и устремить этот процесс до бесконечности, то мы приходим к следующему изящному тождеству, связывающему степени "золотой пропорции":

(4)

где число n является целым и пробегает значения от +¥ до -¥, то есть n = 0, ±1, ±2, ±3, ... .

Тождество (4) словесно можно выразить следующим образом: "Любая целая степень "золотой пропорции" равна сумме двух предыдущих".

Это свойство "золотой пропорции" является воистину "уникальным"! Действительно, очень трудно представить, что следующее тождество является "абсолютно верным":

(5)

но его справедливость однозначно вытекает из справедливости тождества (4).

Более того. Абсолютно верным является также следующее тождество:

и подобных численных тождеств для числа t100 существует бесконечное количество, что также вытекает из тождества (4)

Рассмотрим последовательность степеней "золотой пропорции", то есть

(6)

Последовательность (6) обладает весьма интересным математическим свойством. С одной стороны, последовательность (6) является "геометрической прогрессией", в которой каждое число равно предыдущему, умноженному на постоянное для данной прогрессии число t, называемое знаменателем геометрической прогрессии, то есть:

(7)

С другой стороны, в соответствии с (4) последовательность (6) является "арифметическим рядом", так как каждое число есть сумма двух предыдущих. Заметим, что свойство (4) характерно только для геометрической прогрессии со знаменателем t и такая геометрическая прогрессия называется "золотой" прогрессией.

Поскольку каждой геометрической прогрессии типа (6) в геометрии соответствует некоторая логарифмическая спираль, то, по мнению многих исследователей, свойство (4), присущее только "золотой" прогрессии, является причиной широкого распространения именно "золотой" логарифмической спирали в формах и структурах живой природы. Но об этом мы поговорим позже, когда будем рассматривать "золотые" спирали.