Уравнение золотой пропорции

Издавна решение алгебраических уравнений привлекало особое внимание математиков и эта важная математическая задача способствовала развитию алгебры. Правила решения алгебраических уравнений 1-й и 2-й степени были известны еще в глубокой древности. Но формулы для корней алгебраических уравнений 3-й и 4-й степени были найдены только в 16-17 веках. Для корней уравнений 5-й и высших степеней общей формулы не существует. Решение вопроса о разрешимости алгебраических степеней в радикалах привело французского математика Э. Галуа к общей теории алгебраических уравнений, называемой теорией Галуа.

Рассмотрим еще раз алгебраическое уравнение золотой пропорции:

(1)

Оно является алгебраическим уравнением 2-й степени и решить его, то есть найти его корень может каждый школьник. Но возникает вопрос: существуют ли алгебраические уравнения более высоких степеней, корнем которых является золотая пропорция? Для ответа на этот вопрос проведем следующие рассуждения, взяв в качестве исходного простейшее уравнение золотой пропорции, задаваемое (1).

Давайте умножим обе части уравнения (1) на x; в результате получим:

(2)

Из (1) вытекает, что величина x может быть представлена следующим образом: Подставим теперь это значение для переменной x в уравнение (2); тогда получим следующее уравнение 3-го порядка:

(3)

С другой стороны, если в уравнение (2) подставить выражение для x2, задаваемое (1), то получим еще одно уравнение 3-го порядка:

(4)

Таким образом, мы получили два новых уравнения 3-й степени, корнями которых является золотая пропорция, но эти уравнения являются уравнениями 3-й степени.

Представим теперь уравнение золотой пропорции (1) в форме

(5)

Затем мы можем воспользоваться выражением (1) для x2, а также воспользоваться выражениями (3) или (4) для x3. Подставляя их в выражение (5), мы получим два новых алгебраических уравнения 4-й степени, корнями которых является золотая пропорция:

(6)
(7)

Анализ уравнения (7) приводит нас к неожиданному результату, потому что это уравнение описывает энергетическое состояние бутадиена - ценного химического вещества, которое используется при производстве каучука. Известный физик Фейнман выразил свое восхищение по поводу уравнения (7) в следующих словах: "Какие чудеса существуют в математике! Согласно моей теории золотая пропорция древних греков дает минимальное энергетическое состояние частицы бутадиена".

Этот факт сразу же повышает наш интерес к уравнениям золотой пропорции высших степеней. Эти уравнения могут быть получены, если мы будем последовательно рассматривать уравнения типа В качестве примера можно рассмотреть следующие уравнения высших степеней:



Анализ этих уравнений показывает, что числовые коэффициенты в правой части этих уравнений есть ни что иное, как числа Фибоначчи, которые мы рассмотрим ниже. В общем случае алгебраические уравнения золотой пропорции n-й степени выражаются в следующем виде:

(8)

где - числа Фибоначчи.

Заметим еще раз, что главным математическим свойством уравнений (8) является то, что все они имеют общий корень - золотую пропорцию.