Алгебраические свойства золотой пропорции

Что же это за "чудо" природы и математики, интерес к которому не только не увядает с течением времени, а наоборот - возрастает с каждым столетием. Для ответа на этот вопрос мы предлагаем посетителю нашего Музея напрячь все математические знания и погрузиться в мир математики - только таким путем вы сможете насладиться чудесными математическими свойствами золотой пропорции и через эти математические свойства понять и оценить всю красоту и гармонию золотой пропорции

Начнем с алгебраических свойств "золотой пропорции". Из уравнения "золотой пропорции"

(1)

непосредственно вытекает первое очень простое и тем не менее весьма удивительное свойство золотой пропорции. Если корень t ("золотая пропорция") подставить вместо x в уравнение (1), то мы получим следующее тождество для "золотой пропорции":

(2)

Убедимся, что тождество (2) является истинным. Для этого нам необходимо осуществить элементарные математические преобразования над левой и правой частями тождества (2) и доказать, что они совпадают.

Действительно, мы имеем для правой части:

С другой стороны,

откуда вытекает справедливость тождества (2).

Тождество (2) может быть представлено в виде:

(3-a)
или
(3-b)

Проанализируем, например, тождество (3-b). Известно, что любое число а имеет обратное к нему число 1/а. Например, дробь 0.1 является числом, обратным к 10. Традиционный алгоритм получения обратного числа 1/а из исходного числа а состоит в делении числа 1 на число а. Это довольно сложная процедура. Попробуйте, например, путем деления получить число, обратное к числу а = 357821,093572. Это можно сделать только с помощью современного компьютера.

Рассмотрим теперь "золотую пропорцию" Как получить из нее обратное число 1/t? Выражение (3-b) дает очень простой ответ на этот вопрос. Для этого достаточно вычесть единицу из "золотой пропорции" t. Действительно, с одной стороны,

С другой стороны, как следует из (3-b), "обратное" число 1/t может быть получено из t следующим путем:

Докажем теперь еще одно удивительное свойство "золотой пропорции", основываясь на тождестве (3-а). Если в правую часть (3-а) вместо t подставить его значение, задаваемое (3-а), то мы придем к представлению t в виде следующей "многоэтажной" дроби:

Если продолжить такую подстановку в правой части бесконечное число раз, то в результате получим "многоэтажную" дробь с бесконечным количеством "этажей":

(4)

Представление (4) в математике называется "непрерывной" или "цепной" дробью. Заметим, что теория "цепных" дробей является одной из важных частей современной математики.

Рассмотрим теперь еще раз тождество (2). Оно может быть представлено в следующей форме:

(5)

Если теперь в правой части тождества (5) вместо t подставить его выражение, задаваемое (5), то получим следующее представление t:

(6)

Если в правой части тождества (6) опять подставлять выражение (5) вместо t и повторить эту операцию бесконечное число раз, то мы получим еще одно "замечательное представление" золотой пропорции в "радикалах":

(7)

Каждый математик интуитивно стремится выразить свои математические результаты в наиболее простой, компактной форме. И если такую форму удается найти, то это доставляет математику "эстетическое наслаждение". В этом отношении (стремление к "эстетическому" выражению математических результатов) математическое творчество подобно творчеству композитора или поэта, главной задачей которых состоит в получении совершенных музыкальных или поэтических форм, доставляющих "эстетическое удовольствие". Заметим, что формулы (4) и (7) вызывают также "эстетическое наслаждение" и вызывают неосознанное чувство ритма и гармонии, когда мы начинаем задумываться над бесконечной повторяемостью одних и тех же простых математических элементов в формулах для t, задаваемых (4), (7).