Геометрическое определение "золотого сечения"

Самым известным математическим сочинением античной науки являются "Начала Евклида". Это научное произведение написано Евклидом в 3 веке до новой эры и содержит основы античной математики: элементарную геометрию, теорию чисел, алгебру, теорию пропорций и отношений, методы определения площадей и объемов и др. Евклид подвел в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейшего развития математики.

Именно из "Начал Евклида" к нам пришла следующая геометрическая задача, называемая задачей "о делении отрезка в крайнем и среднем отношении". Суть задачи состоит в следующем. Разделим отрезок АВ точкой С в таком отношении, чтобы большая часть отрезка СВ так относилась к меньшей части АС, как отрезок АВ к своей большей части СВ (Рис. 1), то есть:

(1)

Деление отрезка в крайнем и среднем отношении ('золотое сечение')
Рисунок 1. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении ("золотое сечение").

Обозначим отношение (1) через x. Тогда, учитывая, что АВ = АС + СВ, отношение (1) можно записать в следующем виде:

откуда вытекает следующее алгебраическое уравнение для вычисления искомого отношения x:

(2)

Из "физического смысла" отношения (1) вытекает, что искомое решение уравнения (2) должно быть положительным числом, откуда вытекает, что решением задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении является положительный корень уравнения (2), который мы обозначим через t, то есть

Леонардо да Винчи назвал это число "золотым сечением" или "золотой пропорцией". Существует мнение, что Леонардо да Винчи не был первым, кто использовал такое название. Считается, что этот термин идет от Клавдия Птоломея, который дал ему такое название, убедившись, что рост человека правильного телосложения естественно делится именно в таком отношении. Закрепился же этот термин и стал популярным благодаря Леонардо да Винчи, который часто его использовал.

Уравнение (2) часто называют "уравнением золотой пропорции".

Заметим, что на отрезке АВ существует еще одна точка D (Рис.1), которая делит его "золотым сечением", так как

Золотое сечение широко встречается в геометрии. Из "Начал Евклида" известен следующий способ геометрического построения "золотого сечения" с использованием линейки и циркуля (Рис.2). Построим прямоугольный треугольник ABC со сторонами AB = 1 и AC = ½. Тогда в соответствии с "Теоремой Пифагора" cторона Проведя дугу AD с центром в точке C до пересечения с отрезком CB в точке D, мы получим отрезок

Геометрическое построение золотого сечения
Рисунок 2. Геометрическое построение золотого сечения.

Проведя дугу DB с центром в точке B до ее пересечения с отрезком AB в точке E, мы получим деление отрезка AB в точке E "золотым сечением", поскольку

или

Таким образом, хорошо известный в древнем мире простой прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2 мог послужить основой для открытия "теоремы квадратов", золотой пропорции и, наконец, "несоизмеримых отрезков" - трех великих математических открытий, приписываемых Пифагору.

Многие математические закономерности, как говорится "лежали на поверхности", их нужно было только увидеть человеку с аналитическим умом, мыслящему логически, чем и отличались античные философы и математики. Не исключено, что древние математики могли прийти к "золотому сечению", исследуя так называемый простейший прямоугольник с отношением сторон 2:1, называемый также "двухсмежным квадратом", так как он состоит из двух квадратов (Рис.3 ).

Прямоугольник с отношением сторон 2:1 ('двухсмежный квадрат')
Рисунок 3. Прямоугольник с отношением сторон 2:1 ("двухсмежный квадрат").

Если вычислить диагональ DB "двухсмежного квадрата", то в соответствии с теоремой Пифагора она равна

Если теперь взять отношение суммы отрезков AD + DB к большей стороне АВ "двухсмежного квадрата", то мы придем к "золотой пропорции", так как

Свое восхищение "золотым сечением" знаменитый астроном Иоганн Кеплер выразил в следующих словах:

"В геометрии существует два сокровища - теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем".

Парадоксально, но теорему Пифагора знает каждый школьник, в то время как с "золотым сечением" знакомы далеко не все. И главная задача нашего Музея как раз и состоит в том, чтобы популярно рассказать об этом чудесном открытии античной науки для всех, то есть как для школьников, студентов, инженеров, домохозяек, но также и для современных ученых, для последних мы покажем далеко не тривиальные приложения золотого сечения во многих областях современной науки. Мы хотим рассказать о математическом открытии, которое в течение тысячелетий привлекало внимание и было предметом восхищения выдающихся ученых, математиков и философов Пифагора, Платона, Евклида, Леонардо да Винчи, Луку Пачиоли, Кеплера, Цейзинга, а в новейшее время - Флоренского, Гика, Корбюзье, Эйзенштейна, американского математика Вернера Хогатта, создателя Фибоначчи Ассоциации, а также выдающегося ученого Аллана Тьюринга, внесшего огромный вклад в развитие современной информатики.